在自动控制系统中，如何应用根轨迹的模值条件和相角条件来分析系统的稳定性？请结合《自动控制原理：根轨迹模值与相角条件解析》进行详细说明。

要分析自动控制系统的稳定性，根轨迹法提供了直观而有效的工具。根轨迹的模值条件和相角条件是其核心，它们为我们判断系统稳定性提供了数学依据。模值条件关注的是闭环极点随着开环增益K变化时，其模长的分布情况。具体来说，闭环极点在复平面上的轨迹必须满足以下模值条件：

参考资源链接：[自动控制原理：根轨迹模值与相角条件解析](https://wenku.csdn.net/doc/87fh9qhc0v?spm=1055.2569.3001.10343)

\[ \left| \frac{K \cdot N(s)}{D(s)} \right| = 1 \]

这里，\( N(s) \) 表示开环传递函数中所有零点的乘积，\( D(s) \) 表示所有极点的乘积，而 \( s \) 是复变量。根轨迹将始于开环极点，终于开环零点，当增益K从0变到无穷大时，极点的轨迹能够被确定。

相角条件则涉及到根轨迹上各点的相位角。系统稳定性的必要条件是所有闭环极点必须位于复平面的左半部。根轨迹上的点需要满足以下相角条件：

\[ \angle(s - z_j) - \angle(s - p_i) = (2k+1) \cdot 180^\circ \]

其中，\( k \) 是整数，\( z_j \) 是开环零点，\( p_i \) 是开环极点。这个条件能够帮助我们确定哪些轨迹分支对应于稳定系统。

在实际应用中，可以利用胡寿松教授的《自动控制原理：根轨迹模值与相角条件解析》课件中介绍的方法，使用MATLAB等计算工具，通过编程实现根轨迹的绘制，从而直观地观察和分析系统的稳定性和性能。例如，通过计算不同增益K对应的极点位置，可以快速验证系统是否满足稳定性条件。

此外，课件中还会提供梅逊公式，这是分析反馈控制系统的另一种工具。它允许我们直接计算闭环传递函数，而无需绘制根轨迹，这对于分析系统性能和设计控制器都非常有帮助。

通过学习胡寿松教授的这些材料，不仅能够加深对根轨迹方法的理解，还能够掌握如何结合模值条件和相角条件来对自动控制系统的稳定性进行深入分析，并将其应用于实际问题解决中。

参考资源链接：[自动控制原理：根轨迹模值与相角条件解析](https://wenku.csdn.net/doc/87fh9qhc0v?spm=1055.2569.3001.10343)