矩阵分析中的特征值和特征向量有何数学意义，它们在实际问题中如何应用？

特征值和特征向量是矩阵分析中的核心概念，具有丰富的数学意义，并在多个领域有着广泛的应用。特征值是指一个方阵A的一个标量λ和一个非零向量v之间的关系，满足方程Av=λv。特征向量v是对应的非零向量，它在矩阵A的作用下仅仅被伸缩，即方向不变，大小被缩放λ倍。在实际问题中，特征值和特征向量可以帮助我们理解物理现象、经济模型、网络分析等系统的本质特性。例如，在图形理论中，节点的特征向量可用于网页排名（PageRank）算法；在量子力学中，粒子系统的状态可以用特征向量来描述；在统计学中，主成分分析（PCA）通过特征值分解来降维数据。《Matrix Analysis》一书，由Horn R.A.和Johnson C.R.编写，是学习矩阵分析的权威资料，详细介绍了特征值和特征向量的理论基础以及它们在不同领域的应用案例。这本书不仅能帮助你深入理解这两个概念，还会通过丰富的数学推导和应用实例，揭示它们在实际问题解决中的巨大作用。

参考资源链接：[Matrix Analysis，Johnson](https://wenku.csdn.net/doc/646b234f5928463033e64e80?spm=1055.2569.3001.10343)