f(x)=1/1＋25x²在［－1，1］上的拉格朗日插值图像于原图

要绘制函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的拉格朗日插值图像及其与原始函数图像的对比，我们可以按照以下步骤进行：

1. 定义原始函数 `f` 和计算其在给定区间内的点的值。
2. 根据拉格朗日插值公式创建插值多项式。
3. 绘制原始函数的图像。
4. 使用插值多项式在相同区间上绘制插值图像。
5. 将两个图像放在一起比较。

下面是使用Matlab的代码示例：

% 原始函数
f = @(x) 1 ./ (1 + 25*x.^2);

% 区间
x_values = linspace(-1, 1, 100); % 创建100个等间距的x值

% 计算原始函数值
y_original = f(x_values);

% 拉格朗日插值系数
l_coeffs = zeros(size(x_values));
for i = 1:length(x_values)
    for j = 1:length(x_values)
        if i ~= j
            l_coeffs(i) = l_coeffs(i) + f(x_values(j)) * prod((x_values - x_values(j))./(x_values(i) - x_values(j)));
        end
    end
    l_coeffs(i) = l_coeffs(i) / (x_values(i) - x_values);
end

% 插值函数
interp_f = @(x) sum(l_coeffs .* f(x_values).* ((x - x_values).^0));

% 绘制原始函数图像
figure;
plot(x_values, y_original, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Original Function');
hold on;

% 绘制拉格朗日插值图像
plot(x_values, interp_f(x_values), 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Lagrange Interpolation');

% 设置轴范围、标题和标签
xlim([-1 1]);
ylim([0 max(max(y_original), max(interp_f(x_values)))]);
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('Comparison of Original and Lagrange Interpolated Functions on [-1, 1]');
legend('show');

% 显示图像
hold off;

运行这段代码后，你应该能看到原始函数 \( f(x) \) 和拉格朗日插值后的近似函数的图像在同一图表中，你可以直观地看出它们之间的相似性和差异。