预处理共轭梯度法strang循环预处理矩阵求解toeplitz矩阵代码

预处理共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）通常用于解决大规模线性系统，特别是当系数矩阵呈现特殊结构，如对角占优或稀疏且具有好的性质（如Toeplitz矩阵，即中心对称的矩阵，其元素沿着对角线对称递减）。Strang循环是一种改进的共轭梯度算法，它结合了迭代过程中的预处理步骤来加速收敛。

对于Toeplitz矩阵的求解，一种常见的预处理策略是使用Cholesky分解或者LAPACK库提供的函数来进行分解。这里我们以Python为例，使用`scipy.sparse.linalg`库：

import numpy as np
from scipy.sparse import csc_matrix
from scipy.sparse.linalg import spsolve, cg, factorized

# 假设你有一个Toeplitz矩阵A和向量b
def toeplitz_matrix(n):
    # 创建一个对角线元素为1，其他递减的-Toeplitz矩阵
    diagonals = [1] + [0] * (n - 1)
    A = csc_matrix(toeplitz(diagonals))
    return A

def solve_toep_precond(A, b):
    # 使用Cholesky分解进行预处理，返回倒数的因子
    L = factorized(A)
    
    # 实际的PCG求解
    def pcg_iterate(x0, n_iterations, tol=1e-6):
        r0 = b - A @ x0
        p = r0.copy()
        rsold = np.linalg.norm(r0)

        for _ in range(n_iterations):
            z = L(p)
            alpha = rsold / np.dot(z, z)
            x_new = x0 + alpha * p
            r_new = r0 - alpha * z
            
            if np.linalg.norm(r_new) < tol * rsold:
                break
            
            beta = np.linalg.norm(r_new) / rsold
            p = r_new + beta * p
            rsnew = np.linalg.norm(r_new)
            
        return x_new

    x = pcg_iterate(np.zeros_like(b), n_iterations=100, tol=1e-8)
    return x

# 示例
n = 100
A = toeplitz_matrix(n)
b = np.random.rand(n)
x_solution = spsolve(A, b)
precon_x = solve_toep_precond(A, b)