x(t)=sin(ut)的严平稳性

严平稳性是指随机过程的统计特性在时间平移的情况下保持不变。对于随机过程 x(t)=sin(ut)，其中 u 为常数，我们来分析其严平稳性。

首先，我们知道 sin 函数是一个周期为 2π 的函数，即对于任意 t，sin(t+2π) = sin(t)。因此，我们可以将 x(t) 的周期设置为 T = 2π/u，即 x(t) 的一个周期的长度。

接下来，我们来考虑 x(t) 的平均值和自相关函数，以验证其严平稳性。

1. 平均值（均值函数）：对于任意 t，我们计算 x(t) 的平均值 E[x(t)]，即在整个周期内 x(t) 的时间平均。由于 sin 函数的性质，我们知道在一个周期内的时间平均为零。因此，x(t) 的平均值为 E[x(t)] = 0。

2. 自相关函数：自相关函数描述了随机过程在不同时间点上的相关性。对于 x(t) 的自相关函数 R_x(t1, t2)，我们希望在任意时间 t1 和 t2 的情况下都保持相同的自相关性。更具体地说，我们希望 R_x(t1, t2) = R_x(t1 + τ, t2 + τ)，其中 τ 是时间的平移量。

对于 x(t) = sin(ut)，我们可以使用欧拉公式将其表示为两个指数函数的线性组合。然后，我们可以利用指数函数的性质来计算自相关函数。具体计算过程如下：

x(t1) = sin(ut1) = (e^(iut1)-e^(-iut1))/(2i)
x(t2) = sin(ut2) = (e^(iut2)-e^(-iut2))/(2i)

R_x(t1, t2) = E[x(t1) * x(t2)] = E[(e^(iut1)-e^(-iut1))/(2i) * (e^(iut2)-e^(-iut2))/(2i)] = 0

由于自相关函数恒为零，表示 x(t) 在不同时间点上是不相关的，即具有严平稳性。

综上所述，随机过程 x(t) = sin(ut) 具有严平稳性。无论时间平移多少，x(t) 的平均值都为零，自相关函数始终为零，不具有任何时间的相关性。