matlab分别用欧拉法，改进欧拉法，四阶经典Runge-kutta法求解一阶常微分方程

Matlab是一种强大的数学软件，可以方便地用于数值计算，包括各种微分方程的求解。以下是使用三种常见方法求解一阶常微分方程的基本步骤：

1. **欧拉法** (Euler's Method):
- 定义函数 `dydx` 表示微分方程的导数 \( \frac{dy}{dt} = f(t, y) \)，其中 \( t \) 是时间，\( y \) 是变量。
- 初始化：给定初始条件 \( y_0 \), 初始时间 \( t_0 \), 时间步长 \( h \)。

   function dy = euler(dydx, t, y, h)
       dy = dydx(t, y);
   end

- 循环更新：计算并存储每个时间步长后的值。

   Tspan = [t0, tf]; % 想要得到的结果范围
   Nsteps = round((Tspan(2) - Tspan(1)) / h); % 总步数
   y = y0; % 初始化y
   for i = 1:Nsteps
       y(i+1) = y(i) + h * euler(dydx, Tspan(1) + i*h, y(i), h);
   end

2. **改进欧拉法** (Improved Euler's Method 或 Heun's Method):
- 类似于欧拉法，但在下一个时间点的估计上加入了一次中间点计算。

   function dy = improved_euler(dydx, t, y, h)
       k1 = dydx(t, y);
       k2 = dydx(t + h/2, y + h*k1/2);
       dy = h * (k1 + k2)/2;
   end

3. **四阶经典Runge-Kutta法 (RK4)**:
- Runge-Kutta 法通常提供更高的精度。对于四阶，它需要四个中间点的估计。

   function dy = rk4(dydx, t, y, h)
       k1 = dydx(t, y);
       k2 = dydx(t + h/2, y + h*k1/2);
       k3 = dydx(t + h/2, y + h*k2/2);
       k4 = dydx(t + h, y + h*k3);
       dy = h * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6;
   end

使用时同样设置循环来逐步求解。