如何在Overleaf上使用代码实现并展示泰勒公式计算？

在Overleaf上使用LaTeX编写代码并展示泰勒公式计算，你可以通过`amsmath`和`cases`环境来实现。以下是一个简单的例子：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath} % 引入数学工具包

% 定义变量和函数
\newcommand{\function}[1]{f(x) = #1}

% 使用cases环境展示泰勒展开
\begin{document}
\begin{align*}
\function{x^2 + e^x} \quad &= x^2 + e^x \\
&= x^2 + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad (\text{泰勒展开})\\
&= x^2 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} + O(x^{n+1})
\end{align*}
\end{document}

在这个例子中，我们首先创建了一个命令`\function`来简化函数表达式。然后，在`align*`环境中展示了泰勒公式的基本形式，其中`cases`不是必需的，但我们使用了它来清晰地展示每一项的计算过程。

如果你想让代码块更具可读性，可以使用`lstlisting`环境来自LaTeX的`listings`包，例如：

\usepackage{listings}
\lstset{
    language=Python,
    basicstyle=\ttfamily,
    breaklines=true
}

\begin{lstlisting}
def taylor_expansion(func, x, n):
    series = func(x)
    for i in range(1, n+1):
        series += func.diff(x, i)(x) / math.factorial(i)
    return series
taylor_expansion(lambda x: x**2 + math.exp(x), 0, 3)

这里假设你已导入了`math`模块来进行指数运算。