设A属于Rmxn,试证明 |A||2=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1};
时间: 2024-06-16 15:05:46 浏览: 15
设A属于Rmxn,我们要证明 |A||2=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}。
首先,我们知道矩阵A的2-范数定义为矩阵A的最大奇异值,记作|A|2。而对于向量x和y,||x||2和||y||2分别表示向量x和y的2-范数。
我们可以将矩阵A表示为A=[a1,a2,...,an],其中ai表示矩阵A的第i列向量。
根据矩阵乘法的定义,可以将矩阵A乘以向量x表示为Ax=a1x1+a2x2+...+anxn,其中xi表示向量x的第i个分量。
现在我们来证明 |A||2=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}:
首先,我们可以将|yTAx|表示为|(a1x1+a2x2+...+anxn)y|。
根据向量的内积性质,可以将上式展开为|(a1x1)y+(a2x2)y+...+(anxn)y|。
再根据向量的模长性质,可以将上式展开为|a1(x1y)+a2(x2y)+...+an(xny)|。
根据向量的模长性质,可以将上式展开为|a1(x1y)+a2(x2y)+...+an(xny)|<=|a1||x1y|+|a2||x2y|+...+|an||xny|。
根据向量的模长性质和矩阵的列向量的模长性质,可以将上式展开为|a1||x1||y|+|a2||x2||y|+...+|an||xn||y|。
由于||x||2=||y||2=1,所以可以将上式展开为|a1||y|+|a2||y|+...+|an||y|。
根据向量的模长性质和矩阵的列向量的模长性质,可以将上式展开为(|a1|+|a2|+...+|an|)||y|。
由于|A|2表示矩阵A的最大奇异值,所以可以将上式展开为|A|2||y|。
综上所述,我们证明了 |A||2=max{|yTAx|:x属于Rn,y属于Rm,||x||2=||y||2=1}。