MATLAB互信息计算

### 如何在MATLAB中实现互信息计算

为了在MATLAB中实现互信息的计算，通常会利用熵的概念。具体来说，可以通过定义几个辅助函数来完成这一任务：`entropy`用于计算单变量的信息熵；`jointEntropy`用于计算两个随机变量的联合熵；最后，`mutualInformation`则用来计算给定两组数据间的互信息。

#### 计算信息熵
信息熵衡量的是单一随机变量的不确定性程度。对于离散型随机变量X，其概率分布为p(x)，那么它的香农熵H(X)可表示如下：

\[ H(X) = -\sum_{i} p(x_i)\log_2(p(x_i)) \]

对应的MATLAB代码片段如下所示：

function h = entropy(data)
    % Compute the probability distribution of data.
    uniqueData = unique(data);
    probDist = histcounts(data, [uniqueData; max(uniqueData)+1]) / length(data);

    % Avoid log(0).
    validProbabilities = probDist(probDist ~= 0);
    
    % Calculate and return Shannon Entropy.
    h = -sum(validProbabilities .* log2(validProbabilities));
end

#### 联合熵计算
当考虑两个随机变量时，它们共同携带的信息量可以用联合熵来描述。设\( (X,Y) \)是一对离散随机向量，则有:

\[ H(X,Y)=−∑_{x∈X,y∈Y}P(x,y)\cdot\log_2(P(x,y)) \]

这里提供了一个简单的MATLAB实现方式：

function jointH = jointEntropy(dataX, dataY)
    combinedData = [dataX(:), dataY(:)];
    uniqueCombined = unique(combinedData,'rows');
    
    counts = zeros(size(uniqueCombined,1),1);
    for i=1:size(uniqueCombined,1)
        matches = all(bsxfun(@eq,combinedData,uniqueCombined(i,:)),2);
        counts(i) = sum(matches);
    end
    
    probabilities = counts ./ sum(counts);  
    validProbs = probabilities(probabilities>eps);
    
    jointH = -sum(validProbs.*log2(validProbs)); 
end

#### 实现互信息计算
有了上述的基础之后，就可以很方便地编写一个专门用于计算互信息的函数了。根据定义，如果已知\( X \)和\( Y \)的概率密度函数以及各自的边缘分布，那么两者之间的互信息MI可以被表达成：

\[ MI(X;Y) = H(X) + H(Y) − H(X,Y) \]

下面给出完整的MATLAB代码示例：

function miValue = mutualInformation(dataX, dataY)
    hx = entropy(dataX);
    hy = entropy(dataY);
    hxy = jointEntropy(dataX,dataY);
    
    miValue = hx + hy - hxy;
end

以上就是如何在MATLAB环境中构建互信息计算器的一个基本框架[^1]。这些函数可以帮助研究者们更方便快捷地处理涉及特征选择等问题的数据集分析工作。