随机ROC曲线下面积

### 随机 ROC 曲线下面积 (AUC) 的概念与计算

#### 定义与解释
随机 ROC 曲线下的面积（AUC）是指当分类器的预测结果完全随机时，所对应的 ROC 曲线下的面积。理想的分类器应具有接近 1 的 AUC 值，表示完美的区分能力；而随机猜测则对应于 AUC = 0.5 的情况[^2]。

对于随机分类器而言，其 TPR 和 FPR 应该大致相等，在不同阈值下表现一致。因此，随机分类器的 ROC 曲线是一条斜率为 1 的直线，连接坐标系原点 (0,0) 到右上角 (1,1)[^4]。

#### 数学表达式
假设存在 n 对独立同分布的正类和负类样本，则可以通过以下方式定义 AUC：

\[ \text{AUC} = P(\hat{s}_P > \hat{s}_N) + \frac{1}{2}P(\hat{s}_P = \hat{s}_N) \]

其中 \( \hat{s}_P \) 表示来自正类别的得分，\( \hat{s}_N \) 来自负类别。如果两个分数相同，则认为有 0.5 的概率正确排序[^5]。

#### 实际应用中的近似算法
在实践中，通常采用 Mann-Whitney U 统计量来估计 AUC:

\[ U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2},\quad U_2=R_2-\frac{n_2(n_2+1)}{2}\]

这里 \(n_1\) 是正实例数量，\(n_2\) 负实例数; \(R_i=\sum_{j=1}^{m}r_jI(x_j\in C_i)\), m 总观测数目，\(C_i\) 类别 i 中成员集合，\(r_j\) 排名位置。最终，

\[ \text{AUC}=U/\left[n_1*n_2\right]\]

此方法适用于大多数实际情况，并能有效处理离散型变量以及连续型变量的情况[^3].

from sklearn import metrics
import numpy as np

# 示例数据集
y_true = np.array([0]*90 + [1]*10) # 不平衡标签向量
scores = np.random.rand(len(y_true)) # 随机打分

fpr, tpr, _ = metrics.roc_curve(y_true, scores)
auc_value = metrics.auc(fpr, tpr)

print("Random Classifier's AUC:", auc_value)