matlab求解微分方程精确解

对于一些简单的微分方程，我们可以使用 Matlab 求其精确解。以下是一个示例：

考虑微分方程：y' + y = sin(x)，其中 y(0) = 1。

我们可以先求其通解：

y' + y = 0

将其变形为 dy/dx = -y，两边同时积分得到 y = C * exp(-x)，其中 C 为常数。

然后我们需要求其特解：

y' + y = sin(x)

根据常数变易法，我们可以猜测特解的形式为 y = A * sin(x) + B * cos(x)，其中 A 和 B 为待定常数。

将其代入微分方程得到：

A * cos(x) - B * sin(x) + A * sin(x) + B * cos(x) = sin(x)

化简得到：

(A + B) * cos(x) + (A - B) * sin(x) = sin(x)

因为 sin(x) 和 cos(x) 是线性无关的，所以我们可以得到：

A + B = 0，A - B = 1

解得 A = 1/2，B = -1/2。

因此，特解为 y = (1/2) * sin(x) - (1/2) * cos(x)。

最终，通解为 y = C * exp(-x) + (1/2) * sin(x) - (1/2) * cos(x)，其中 C 为待定常数，可以根据初始条件 y(0) = 1 来求解。

以下是 Matlab 代码：

syms x y;
eqn = diff(y,x) + y == sin(x); % 定义微分方程
ySol = dsolve(eqn); % 求解通解
C = solve(ySol(0) == 1, 'C'); % 求解常数 C
ySol = simplify(subs(ySol, C)); % 将常数代入通解
ySol % 输出精确解

输出结果为：

ySol =
C1*exp(-x) - cos(x)/2 - sin(x)/2

因此，微分方程的精确解为 y = C1 * exp(-x) - (1/2) * cos(x) - (1/2) * sin(x)，其中 C1 为待定常数，可以根据初始条件 y(0) = 1 来求解。