牛顿迭代法求解方程组 matlab作图

牛顿迭代法是一种用于求解方程的数值方法，它通过不断逼近方程的根来得到解。在Matlab中，可以使用牛顿迭代法求解方程组，并通过作图来观察解的收敛情况。

首先，我们需要定义方程组。假设我们要求解的方程组为：

f1(x, y) = 0
f2(x, y) = 0

其中，x和y是未知数，f1和f2是两个函数。

在Matlab中，可以使用符号计算工具箱来定义函数。假设我们要求解的方程组为：

f1(x, y) = x^2 + y^2 - 4
f2(x, y) = x - y

可以使用以下代码定义这两个函数：

syms x y
f1 = x^2 + y^2 - 4;
f2 = x - y;

接下来，我们需要定义初始点。初始点的选择对于牛顿迭代法的收敛性很重要。可以选择一个合适的初始点，例如(1, 1)。

x0 = 1;
y0 = 1;

然后，我们可以使用牛顿迭代法进行迭代计算。迭代的过程如下：

1. 计算方程组的雅可比矩阵Jacobian：
J = jacobian([f1, f2], [x, y]);

2. 计算方程组在当前点的函数值：
F = [subs(f1, [x, y], [x0, y0]);
subs(f2, [x, y], [x0, y0])];

3. 计算方程组在当前点的雅可比矩阵值：
J_val = subs(J, [x, y], [x0, y0]);

4. 计算下一个点的值：
delta = -J_val \ F;
x1 = x0 + delta(1);
y1 = y0 + delta(2);

5. 更新当前点的值：
x0 = x1;
y0 = y1;

6. 重复步骤2-5，直到满足收敛条件。

最后，我们可以使用Matlab的绘图函数来作图。可以使用meshgrid函数生成一个网格，并计算方程组在网格上的函数值。然后，可以使用contour函数绘制等高线图。

以下是一个示例代码：

syms x y
f1 = x^2 + y^2 - 4;
f2 = x - y;

x0 = 1;
y0 = 1;

tolerance = 1e-6;
max_iterations = 100;

x_vals = [];
y_vals = [];

for i = 1:max_iterations
J = jacobian([f1, f2], [x, y]);
F = [subs(f1, [x, y], [x0, y0]);
subs(f2, [x, y], [x0, y0])];
J_val = subs(J, [x, y], [x0, y0]);
delta = -J_val \ F;
x1 = x0 + delta(1);
y1 = y0 + delta(2);

if norm([x1 - x0; y1 - y0]) < tolerance
break;
end

x0 = x1;
y0 = y1;

x_vals = [x_vals, x0];
y_vals = [y_vals, y0];
end

[X, Y] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5);
Z1 = subs(f1, [x, y], {X, Y});
Z2 = subs(f2, [x, y], {X, Y});

figure;
contour(X, Y, Z1, [0 0], 'r');
hold on;
contour(X, Y, Z2, [0 0], 'b');
plot(x_vals, y_vals, 'ko-');
xlabel('');
ylabel('y');
legend('f1(x, y) = ', 'f2(x, y) = 0', 'Iteration path