用c++编写程序，计算两个4bit数的乘积构成的集合的熵值，计算输入集合和输出集合之间的互信息熵

在 C++ 中，我们可以使用 `std::vector` 来存储输入和输出数据，并利用熵值的相关公式来计算熵。首先，你需要了解基本的概念：

**熵值（Entropy）** 是信息论中的一个重要量度，表示不确定性或信息含量。对于二进制随机变量，其熵可以用以下公式计算：
\[ H(X) = -\sum_{i=0}^{n-1} p(x_i) \log_2 p(x_i) \]
其中 \( p(x_i) \) 是第 \( i \) 种状态的概率。

**互信息熵（Mutual Information）** 表示两个随机变量之间的依赖程度。如果两个集合 A 和 B 的互信息 I(A;B) 非零，说明 A 和 B 之间存在某种程度的信息共享。

针对4位数乘积的集合，你可以将每个4位数视为一个事件，然后统计每个乘积出现的频率。以下是一个简单的步骤概述：

1. **创建输入集合（4bit输入）**：遍历所有可能的4位数对，计算它们的乘积，放入一个 `std::map` 或 `std::unordered_map` 存储每个乘积及其出现次数。
2. **计算输入集合的熵**：遍历 `map` 计算每个乘积的概率并代入熵的公式。
3. **创建输出集合（8bit结果）**：类似地，统计4位数乘积得到的8位数结果的出现频率。
4. **计算输出集合的熵**：同样处理输出集合，找出每个8位数的概率。
5. **计算互信息熵**：对于每个输入乘积，找到对应的输出概率，然后用输入和输出的概率以及它们的对数计算互信息 I(A;B)。

以下是简化版的 C++ 代码框架：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <cmath>

double calculateEntropy(std::unordered_map<int, int>& counts) {
    double entropy = 0;
    for (const auto& pair : counts) {
        double prob = static_cast<double>(pair.second) / total_count;
        entropy += prob * log2(prob);
    }
    return -entropy;
}

// ... 其他函数定义 ...

int main() {
    // 初始化输入集合和输出集合的数据结构
    std::unordered_map<int, int> inputCounts(16, 0); // 4bit数有16种可能
    std::unordered_map<int, int> outputCounts(256, 0); // 8bit数有256种可能

    // ... 计算乘积、统计频率 ...

    double inputEntropy = calculateEntropy(inputCounts);
    double outputEntropy = calculateEntropy(outputCounts);

    // 计算互信息熵
    double mutualInfo = 0;
    // 这里需要遍历inputCounts，找到对应outputCounts的键，然后计算互信息...

    std::cout << "Input Entropy: " << inputEntropy << std::endl;
    std::cout << "Output Entropy: " << outputEntropy << std::endl;
    std::cout << "Mutual Information: " << mutualInfo << std::endl;

    return 0;
}