动态规划算法模板算法流程图

动态规划是一种解决问题的有效策略，通常用于优化决策过程，通过将大问题分解成相互重叠的小问题，并保存每个小问题的解决方案，避免重复计算。其核心步骤可以概括为以下几个部分：

1. **定义状态**：首先确定问题的基本单元，即“状态”，通常表示问题的一个子解。

2. **划分阶段**：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个问题的状态。

3. **明确状态转移方程**：定义从一个状态到另一个状态的转移规则，描述如何通过当前状态得到下一个状态的最优解。

4. **初始化边界条件**：找出初始阶段的简单情况，作为基础状态，它们通常是已知最优解或容易直接求解的。

5. **填充表格**：按照阶段顺序，利用状态转移方程逐步填充动态规划表，存储每个阶段的最优解。

6. **获取最终解**：当所有阶段处理完毕，通常表的最后一行或最后一列就是原问题的最优解。

7. **回溯路径**：如果需要，可以从最后一个阶段开始回溯，找到实际达到最优解的过程。

动态规划算法流程图通常包含上述步骤的图形化表示，包括状态、转移箭头、递推公式、初始值和终止条件等元素。你可以将其想象为一个自底向上的阶梯结构，每一层代表一个阶段，向下递归直到达到基本单位，然后向上合并结果。

相关问题

A. 动态规划算法模板的算法流程图：

动态规划算法通常用于解决涉及最优化的问题，如背包问题、最长公共子序列等。它的核心思想是将大问题分解成小问题，并存储中间结果以避免重复计算。算法流程图一般包括以下几个步骤：

1. 定义状态：确定问题可以分解成的状态变量，每个状态代表一个问题的一个解。

2. 状态转移方程：描述如何从已知状态转移到新的状态，即确定当前状态值与前一状态或几个状态的关系。

3. 初始化边界条件：对于最小规模的问题，直接求解其解作为基础状态，通常是递归的终止条件。

4. 自底向上计算：从最小规模开始，逐步计算更大规模状态的最优解，直至达到原问题规模。

5. 结果保存：将最后一步得到的结果作为最终解决方案。

6. 返回结果：当所有状态都计算完毕，返回最终的最优解。

算法流程图会用到循环结构（比如for或while），递归调用（在某些问题中），以及条件判断（根据状态转移规则）。下面是一个简单的动态规划算法流程图示意：

+-----------------------------------------------------+
|     +-----------------+         +--------------+ |
|     | 计算最小规模解   | →       | 存储结果     | |
|     +--+ |
|                                                  |
|     +-----------------+         +--------------+ |
|     | 根据状态转移方程| →       | 更新当前状态| |
|     +-----------------+         +--------------+ |
|                                                  |
|     +-----------------+         +--------------+ |
|     | 比较新旧解并选择| →       | 递归调用（上一层）| |
|     +--+ |
|     ^                                                |
|     |                                                |
|     v                                                |
|     +-----------------+                          |
|     | 继续计算下一层  |                          |
|     +

请画出动态规划算法模板的算法流程图

动态规划通常用于解决涉及最优决策的问题，通过将大问题分解成小问题并存储中间结果来避免重复计算。算法流程图可以分为以下几个步骤：

1. **初始化**：首先，创建一个二维数组（状态表），其中每个元素表示一个小规模问题的解。边界条件通常是基础情况，即最简单的问题可以直接求解。

2. **填充状态表**：从简单的子问题开始（通常是左上角或最上方的行），对于每个子问题，检查它是否已经存在于状态表中。如果存在，则直接取值；否则，根据问题的具体规则计算其解决方案，并将结果存入状态表。

3. **自底向上计算**：按照问题规模从小到大的顺序，逐步填充状态表。这是动态规划的核心部分，因为较大的问题通常依赖于较小问题的解。

4. **返回最终解**：当所有子问题都处理完毕，状态表右下角的元素就是原问题的解。这个值就是我们所求的全局最优解。

5. **记录路径**（可选）：为了获取实际解法，有时候需要回溯状态表，找出从初始状态到最优解的路径。

下面是一个简化的动态规划算法流程图示意图：

+-------------------+
|     初始化状态表  |
| +-------------------+
| |       [ ]        | (第一行，所有列)
| |   [0]            | (第二行，第一列)
| |  ...             | ...
| +-------------------+
|                       |
V                       V
+-------+--------+
| | 递归式公式 或 状态转移方程  | [ ]    |
| | 例如 f(i,j) = min(f(i-1,j), ...) | (i行，j列)
| +---------------------+--------+
|     填充状态表       | 返回解  |
| +---------------------+--------+
| | 更新状态表         | 保存路径|
| +-----------+