已知L:x^2+y^2=4x，积分L（x+y）^2ds=

根据题目中的公式x^2+y^2=4x，我们可以将其转化为极坐标系下的方程形式，即r=4cosθ。同时，根据积分L（x+y）^2ds的形式，我们可以将其转化为极坐标系下的积分形式，即L（r(θ)cosθ+r(θ)sinθ）^2ds。因此，我们需要先求出r(θ)，然后再代入积分式中进行计算。

将x^2+y^2=4x转化为极坐标系下的方程形式，有：
r^2=4rcosθ
r=4cosθ

对L（r(θ)cosθ+r(θ)sinθ）^2ds进行求解，有：
L（r(θ)cosθ+r(θ)sinθ）^2ds
=L（4cosθcosθ+4cosθsinθ）^2·√(1+(dr/dθ)^2)dθ
=L(4cosθ)^2·√(1+(-4sinθ/4cosθ)^2)dθ
=L(16cos^2θ)·√(1-sin^2θ)·dθ
=16Lcos^3θdθ

对上式进行积分，有：
∫16Lcos^3θdθ
=16L∫cos^3θdθ
=16L∫cos^2θ·cosθdθ
=16L∫(1-sin^2θ)·cosθd(sinθ)
=16L[-(1/3)cos^3θ]（从0到π/2）
=16L/3

因此，积分L（x+y）^2ds的结果为16L/3。

相关问题

有一半径为R的半圆形构件，已知线密度函数：ℓ（x，y）＝k（1-y），求该构件的质量

好的，根据题意，我们需要用到线密度函数和半圆形的面积来计算质量。先计算半圆形的面积：

半圆形的面积 S = πR²/2

接下来计算该构件的质量：

将半圆形分为无数个微小的线段，每个线段的质量可以表示为 Δm = ℓ(x,y)Δs，其中 ℓ(x,y) 是线密度函数，Δs 是线段的长度。

将 Δm 累加起来，即可得到整个半圆形的质量：

m = ∫∫Δm dxdy

考虑到半圆形的对称性，我们只需要计算上半圆形的质量，然后乘以2即可。

上半圆形的方程可以表示为 y = √(R² - x²)，其中 x 的取值范围是 [-R, R]。

将线密度函数代入上式，得到 Δm = k(1-y)ds = k(1-√(R²-x²))ds，其中 ds = √(1 + (dy/dx)²)dx 是线段的长度元素。

将 dx 和 dy 用 x 表示，得到 ds = √(1 + (1/4x²)(R²-x²))dx。

将 Δm 代入上式，得到：

m = 2∫[0,R] k(1-√(R²-x²))√(1+(1/4x²)(R²-x²))dx

这是一个较为复杂的积分，可以通过数值积分的方法求解。具体方法可以参考数值积分相关的教材和资料。

最后得到的结果即为该构件的质量。