已知L:x^2+y^2=4x,积分L(x+y)^2ds=
时间: 2024-06-13 10:07:35 浏览: 22
根据题目中的公式x^2+y^2=4x,我们可以将其转化为极坐标系下的方程形式,即r=4cosθ。同时,根据积分L(x+y)^2ds的形式,我们可以将其转化为极坐标系下的积分形式,即L(r(θ)cosθ+r(θ)sinθ)^2ds。因此,我们需要先求出r(θ),然后再代入积分式中进行计算。
将x^2+y^2=4x转化为极坐标系下的方程形式,有:
r^2=4rcosθ
r=4cosθ
对L(r(θ)cosθ+r(θ)sinθ)^2ds进行求解,有:
L(r(θ)cosθ+r(θ)sinθ)^2ds
=L(4cosθcosθ+4cosθsinθ)^2·√(1+(dr/dθ)^2)dθ
=L(4cosθ)^2·√(1+(-4sinθ/4cosθ)^2)dθ
=L(16cos^2θ)·√(1-sin^2θ)·dθ
=16Lcos^3θdθ
对上式进行积分,有:
∫16Lcos^3θdθ
=16L∫cos^3θdθ
=16L∫cos^2θ·cosθdθ
=16L∫(1-sin^2θ)·cosθd(sinθ)
=16L[-(1/3)cos^3θ](从0到π/2)
=16L/3
因此,积分L(x+y)^2ds的结果为16L/3。
相关问题
因式分解:(x^2+y^2)^2-4x^2*y^2
要进行因式分解,我们可以使用差平方公式来简化表达式。
首先,我们可以将表达式(x^2+y^2)^2-4x^2*y^2表示为一个差的平方形式。观察到(x^2+y^2)^2是一个平方项,而4x^2*y^2是一个平方项的两倍。
我们可以将其表示为差的平方形式:
(x^2+y^2)^2-4x^2*y^2 = [(x^2+y^2) + 2xy][(x^2+y^2) - 2xy]
因此,原始表达式(x^2+y^2)^2-4x^2*y^2可以因式分解为[(x^2+y^2) + 2xy][(x^2+y^2) - 2xy]。
求柱面x^2+y^2=2x被锥面x^2+y^2=z^2所截剩下部分面积
首先,将柱面的方程化为标准形式:$(x-1)^2+y^2=1$。
然后,锥面的方程为 $x^2+y^2=z^2$。
将 $z$ 消去,得到 $x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2=z^2=x^2+y^2$,即 $x^2+y^2=0$ 或 $x^2+y^2\neq 0$。
显然,$x^2+y^2=0$ 对应的是顶点,不在所求范围内。因此,我们只需考虑 $x^2+y^2\neq 0$ 的情况。
将 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入柱面的方程,得到 $(x-1)^2+y^2=1$,即 $x^2-2x+1+y^2=1$,即 $x^2+y^2=2x$。
将 $x^2+y^2=2x$ 代入锥面的方程,得到 $2x=z^2$。
因此,所求部分的面积可以表示为:
$$
\begin{aligned}
S&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{z_x}{z_z})^2+(\frac{z_y}{z_z})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{x}})^2+(\frac{0}{2\sqrt{x}})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+\frac{1}{4x}}dxdy \\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r\cos^2\theta}}rdrd\theta \\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r}}rdr \\
&=\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)
\end{aligned}
$$
因此,所求柱面被锥面截剩下部分的面积为 $\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)$。
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