已知一组数据的协方差矩阵为[1 0.5;0.5 1] 试问 (1) 协方差矩阵中各元素的含义。 (2) 求该数组的两个主成分。 (3) 若用第一个主成分代表全部数据，则信息损失为多大

(1) 协方差矩阵中，对角线上的元素表示各自变量的方差，非对角线上的元素表示两个变量之间的协方差。在这个例子中，第一个变量的方差为1，第二个变量的方差也为1，两个变量之间的协方差为0.5。

(2) 要求主成分，首先需要求出该协方差矩阵的特征值和特征向量。解特征方程得到该矩阵的特征值为1.5和0.5，对应的特征向量为[0.7071, 0.7071]和[-0.7071, 0.7071]。由于特征向量是单位向量，因此两个主成分分别为[0.7071, 0.7071]和[-0.7071, 0.7071]。

(3) 如果用第一个主成分代表全部数据，那么信息损失就是第二个主成分所代表的信息量。第二个主成分的特征值为0.5，因此信息损失为0.5/2=0.25，即损失了原来数据的25%的信息量。