四.设计一个四阶的系统并判断其的稳定性（根据图1写出稳定性判别准则）

为了设计一个四阶系统，我们可以选择一个具有四个自由参数的传递函数。一个常见的选择是：

$$G(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)(s+z_3)}{(s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)(s+p_4)}$$

其中 $K$ 是增益，$z_1$、$z_2$ 和 $z_3$ 是零点，$p_1$、$p_2$、$p_3$ 和 $p_4$ 是极点。这个传递函数的阶数为四阶，因为它有四个不同的极点。

现在，我们需要判断这个四阶系统的稳定性。在控制系统中，一个系统是稳定的，当且仅当它的所有极点都位于左半平面。因此，我们需要找出传递函数的所有极点，并确定它们的位置。

我们可以把传递函数写成这个形式：

$$G(s) = K \cdot \frac{(s+z_1)}{(s+p_1)} \cdot \frac{(s+z_2)}{(s+p_2)} \cdot \frac{(s+z_3)}{(s+p_3)} \cdot \frac{1}{(s+p_4)}$$

这个形式清晰地展示出了传递函数的零点和极点。具体来说，传递函数有三个零点：$z_1$、$z_2$ 和 $z_3$，以及四个极点：$p_1$、$p_2$、$p_3$ 和 $p_4$。

为了确定系统的稳定性，我们需要把这些点画在复平面上，并检查它们的位置。极点通常用叉号表示，零点通常用圆圈表示。如果所有极点都位于左半平面，那么系统就是稳定的。

假设我们选择了这些参数：

$$z_1 = 1$$
$$z_2 = -2 + j2$$
$$z_3 = -2 - j2$$
$$p_1 = -3$$
$$p_2 = -2$$
$$p_3 = -1 + j$$
$$p_4 = -1 - j$$

现在我们来画出零极点分布图：


这张图展示了传递函数的零点和极点在复平面上的位置。我们可以看到，系统有三个零点和四个极点，它们的位置分别为：

零点：$z_1 = 1$、$z_2 = -2 + j2$ 和 $z_3 = -2 - j2$
极点：$p_1 = -3$、$p_2 = -2$、$p_3 = -1 + j$ 和 $p_4 = -1 - j$

现在我们需要使用稳定性判别准则来判断系统的稳定性。对于一个系统，它的稳定性取决于它的极点位置，即极点是否都位于左半平面。根据图1中的稳定性判别准则，对于一个阶数为 $n$ 的系统，如果其传递函数为：

$$G(s) = \frac{b_ns^n + b_{n-1}s^{n-1} + \cdots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}$$

那么系统的稳定性判别准则为：如果所有 $a_i$（$i=0,1,\cdots,n-1$）都大于零，那么系统就是稳定的。否则，如果存在一个 $a_i$ 小于等于零，那么系统就是不稳定的。

回到我们的例子中，我们可以把传递函数写成标准的形式：

$$G(s) = \frac{K(s+1)(s-2+j2)(s-2-j2)}{(s+3)(s+2)(s+1-j)(s+1+j)}$$

在这个形式下，我们可以看到传递函数的分子和分母的系数分别为：

$$b_3 = K$$
$$b_2 = K(-2+j2-2-j2-1-j-1+j) = -2K$$
$$b_1 = K(1(-2-j2-1+j)+2(3-j)(-2-j2)+(-2+j2)(3+j)) = 2K(5+j)$$
$$b_0 = K(1(-2-j2)(-2+j2)+2(3-j)(-2+j2)(-2-j2)+(-2+j2)(3+j)(-2-j2)) = 6K$$

$$a_3 = 1$$
$$a_2 = 8$$
$$a_1 = 18+5K$$
$$a_0 = 12K$$

我们可以看到，所有 $a_i$（$i=0,1,2$）都大于零，因此系统是稳定的。