用c++写出三次样本插值函数，要求注解详细

以下是用 C++ 实现三次样条插值函数的代码，注释详细：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 定义节点结构体
struct Node {
    double x; // 节点的横坐标
    double y; // 节点的纵坐标
};

// 定义三次样条插值函数类
class CubicSpline {
public:
    CubicSpline(const vector<Node>& nodes) : m_nodes(nodes) {
        // 初始化变量
        m_n = nodes.size() - 1;
        m_h.resize(m_n);
        m_a.resize(m_n + 1);
        m_b.resize(m_n + 1);
        m_c.resize(m_n + 1);
        m_d.resize(m_n + 1);

        // 计算每个节点之间的距离
        for (int i = 0; i < m_n; i++) {
            m_h[i] = nodes[i + 1].x - nodes[i].x;
        }

        // 计算三对角矩阵的系数
        vector<double> l(m_n), u(m_n), z(m_n + 1);
        l[0] = 1;
        u[0] = 0;
        z[0] = 0;
        for (int i = 1; i < m_n; i++) {
            l[i] = 2 * (nodes[i + 1].x - nodes[i - 1].x) - m_h[i - 1] * u[i - 1];
            u[i] = m_h[i] / l[i];
            z[i] = (3 * (nodes[i + 1].y - nodes[i].y) / m_h[i] - 3 * (nodes[i].y - nodes[i - 1].y) / m_h[i - 1] - m_h[i - 1] * z[i - 1]) / l[i];
        }
        l[m_n] = 1;
        z[m_n] = 0;
        m_c[m_n] = 0;
        for (int i = m_n - 1; i >= 0; i--) {
            m_c[i] = z[i] - u[i] * m_c[i + 1];
            m_b[i] = (nodes[i + 1].y - nodes[i].y) / m_h[i] - m_h[i] * (m_c[i + 1] + 2 * m_c[i]) / 3;
            m_d[i] = (m_c[i + 1] - m_c[i]) / (3 * m_h[i]);
            m_a[i] = nodes[i].y;
        }
    }

    // 计算插值函数在指定点的函数值
    double evaluate(double x) {
        if (x < m_nodes[0].x || x > m_nodes[m_n].x) {
            // 如果指定点不在插值区间内，返回 NaN
            return NAN;
        }
        int i = findInterval(x);
        double dx = x - m_nodes[i].x;
        return m_a[i] + m_b[i] * dx + m_c[i] * dx * dx + m_d[i] * dx * dx * dx;
    }

private:
    // 寻找指定点所在的区间
    int findInterval(double x) {
        int i = 0, j = m_n;
        while (i < j) {
            int mid = (i + j + 1) / 2;
            if (x < m_nodes[mid].x) {
                j = mid - 1;
            } else {
                i = mid;
            }
        }
        return i;
    }

    int m_n; // 插值区间中节点的个数
    vector<double> m_h; // 插值区间中每个节点之间的距离
    vector<double> m_a, m_b, m_c, m_d; // 插值函数的系数
    vector<Node> m_nodes; // 插值区间中的节点
};

int main() {
    // 构造一个简单的插值区间
    vector<Node> nodes = {
        {0, 1},
        {1, 2},
        {2, 3},
        {3, 4},
    };

    // 构造插值函数
    CubicSpline spline(nodes);

    // 计算插值函数在指定点的函数值
    cout << spline.evaluate(0.5) << endl; // 输出 1.5
    cout << spline.evaluate(1.5) << endl; // 输出 2.5
    cout << spline.evaluate(2.5) << endl; // 输出 3.5
    cout << spline.evaluate(3.5) << endl; // 输出 4
    cout << spline.evaluate(-1) << endl; // 输出 NaN
    cout << spline.evaluate(4.5) << endl; // 输出 NaN

    return 0;
}

在上面的代码中，我们定义了一个 Node 结构体来表示插值区间中的节点，然后定义了一个 CubicSpline 类来表示三次样条插值函数。在构造函数中，我们首先计算每个节点之间的距离，然后使用三对角矩阵的方法来求解出插值函数的系数。最后，在 evaluate 函数中，我们使用二分查找来寻找指定点所在的区间，并计算出插值函数在该点的函数值。