矩阵的谱范数为什么是特征值开方

矩阵的谱范数是矩阵所有特征值的平方和的平方根，即$\left\|A\right\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n\lambda_i^2}$，其中$\lambda_i$表示矩阵$A$的第$i$个特征值。

证明如下：

对于一个$n$维向量$x$，我们有：

$$
Ax=\lambda x
$$

两边同时取范数，得到：

$$
\left\|A\right\|\left\|x\right\|=\left\|\lambda x\right\|=
\left|\lambda\right|\left\|x\right\|
$$

因为$\left\|x\right\|\neq0$，所以有：

$$
\left\|A\right\|=\left|\lambda\right|\frac{\left\|x\right\|}{\left\|x\right\|}=\left|\lambda\right|
$$

因此，矩阵$A$的谱范数等于其特征值的绝对值的最大值，即：

$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \left|\lambda_i\right|
$$

对于实对称矩阵，由于其特征值是实数，所以谱范数等于特征值的最大值，即：

$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \lambda_i
$$

对于正定矩阵，其所有特征值都是正数，因此谱范数等于特征值的最大值，即：

$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \lambda_i
$$

由于特征值是矩阵的一个重要性质，因此矩阵的谱范数也常常用特征值来表示，即$\left\|A\right\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$。