数学物理方法第三版答案姚端正ch3

时间: 2024-02-05 15:01:29 浏览: 219

数学物理方法第三版答案

根据给定文件的部分内容，我们可以总结出以下数学物理方法中的知识点： ### 复变函数与解析函数 #### 习题1.1.1 **题目1：** 假设 \( z \) 是一个复数，且 \( |z| = 1 \)，证明 \[ \omega = \frac{1}{2z + z^{-1}} \] 是实数，并且满足 \[ -1 \leq \omega \leq 1. \] **解答：** 由 \( |z| = 1 \)，可以推出 \( z^{-1} = \bar{z} \)，因此 \[ \omega = \frac{1}{2z + z^{-1}} = \frac{1}{2z + \bar{z}} = \frac{1}{2(x + iy) + (x - iy)} = \frac{1}{2x + i(2y) + x - iy} = \frac{1}{3x + iy}. \] 由于 \( |z| = 1 \)，则 \( x^2 + y^2 = 1 \)。进一步分析得到 \[ \omega = \frac{1}{3x + iy} = \frac{3x - iy}{9x^2 + y^2} = \frac{3x - iy}{9(1 - y^2) + y^2} = \frac{3x - iy}{9 - 8y^2}. \] 因此，\( \omega \) 的实部为 \( \frac{3x}{9 - 8y^2} \)，虚部为 \( -\frac{y}{9 - 8y^2} \)。由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，即 \( x^2 = 1 - y^2 \)，可以得出 \[ -1 \leq \omega \leq 1. \] **题目2：** 给出以下复数的三角表示式和指数表示式： 1. \( 3i \) 2. \( 1 + i \) 3. \( 1 - 3i \) 4. \( a + bi \) 5. \( \cos\alpha - i\sin\alpha, 0 \leq \alpha \leq \pi \) 6. \( 3 - i \sqrt{3} \) 7. \( \frac{1 + i}{1 - i} \) **解答：** 1. 对于 \( 3i \)： - 三角表示式：\( 3(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}) \) - 指数表示式：\( 3e^{i\frac{\pi}{2}} \) 2. 对于 \( 1 + i \)： - 三角表示式：\( \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) \) - 指数表示式：\( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) 3. 对于 \( 1 - 3i \)： - 三角表示式：\( \sqrt{10}(\cos \theta + i\sin \theta) \)，其中 \( \theta = \arctan(-3) \) - 指数表示式：\( \sqrt{10}e^{i\arctan(-3)} \) 4. 对于 \( a + bi \)： - 三角表示式：\( \sqrt{a^2 + b^2}(\cos \theta + i\sin \theta) \)，其中 \( \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \) - 指数表示式：\( \sqrt{a^2 + b^2}e^{i\arctan\left(\frac{b}{a}\right)} \) 5. 对于 \( \cos\alpha - i\sin\alpha, 0 \leq \alpha \leq \pi \)： - 三角表示式：\( \cos\alpha - i\sin\alpha \) - 指数表示式：\( e^{-i\alpha} \) 6. 对于 \( 3 - i\sqrt{3} \)： - 三角表示式：\( 2\sqrt{3}(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}) \) - 指数表示式：\( 2\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}} \) 7. 对于 \( \frac{1 + i}{1 - i} \)： - 三角表示式：\( (\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) \) - 指数表示式：\( e^{i\frac{\pi}{4}} \) **题目3：** 根据棣摩弗公式用 \( \sin\varphi \) 和 \( \cos\varphi \) 表示 \( \cos4\varphi \) 和 \( \sin4\varphi \)。 **解答：** 利用棣摩弗公式 \[ (\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi, \] 对于 \( n = 4 \)： \[ (\cos\varphi + i\sin\varphi)^4 = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi. \] 通过展开左侧并比较实部与虚部，可以得到 \[ \cos 4\varphi = \cos^4\varphi - 6\cos^2\varphi\sin^2\varphi + \sin^4\varphi \] \[ \sin 4\varphi = 4\cos^3\varphi\sin\varphi - 4\cos\varphi\sin^3\varphi. \] **题目4：** 证明 \[ \sum_{k=1}^{n} \sin(k\varphi) = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}, \] \[ \sum_{k=1}^{n} \cos(k\varphi) = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\cos\frac{(n+1)\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}. \] **解答：** 利用等比级数的求和公式 \[ \sum_{k=1}^{n} r^k = \frac{r - r^{n+1}}{1 - r}, \] 取 \( r = e^{i\varphi} \) 并利用 \( \cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi} \)。因此 \[ \sum_{k=1}^{n} e^{ik\varphi} = \frac{e^{i\varphi} - e^{i(n+1)\varphi}}{1 - e^{i\varphi}}. \] 进一步简化可以得到 \[ \sum_{k=1}^{n} \sin(k\varphi) = \Im\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ik\varphi}\right) = \Im\left(\frac{e^{i\varphi} - e^{i(n+1)\varphi}}{1 - e^{i\varphi}}\right). \] 分子分母同时乘以 \( e^{-i\frac{\varphi}{2}} \) 可以化简得到 \[ \sum_{k=1}^{n} \sin(k\varphi) = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}. \] 同理，对于 \( \cos(k\varphi) \) 的求和也可以得到 \[ \sum_{k=1}^{n} \cos(k\varphi) = \Re\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ik\varphi}\right) = \Re\left(\frac{e^{i\varphi} - e^{i(n+1)\varphi}}{1 - e^{i\varphi}}\right) = \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\cos\frac{(n+1)\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}. \] **题目5：** 已知反正切的主值范围为 \[ -\frac{\pi}{2} < \arctan x < \frac{\pi}{2}, \] 试用 \( \arctan x \) 表示 \( \arccot y \)。 **解答：** 由题意知 \[ \arctan x + \arccot y = \frac{\pi}{2}, \] 由此可以推出 \[ \arccot y = \frac{\pi}{2} - \arctan x. \] 因此，可以通过 \( \arctan x \) 来表示 \( \arccot y \)。

《数学物理方法第三版答案姚端正ch3》是数学物理学习的重要参考书籍，其第三章涵盖了许多重要的数学物理方法和理论。在这一章中，主要涵盖了形变、流、涡和引力场等方面的内容。书中提供了丰富的例题和习题，并给出了详细的解答过程，帮助读者更好地理解和掌握数学物理方法。在第三章中，姚端正教授系统地介绍了形变、流、涡和引力场等数学物理方法，通过清晰的数学推导和物理解释，读者可以更深入地理解这些方法的应用和意义。此外，书中还提供了大量的例题和习题，这些题目涵盖了不同难度和类型，能够帮助读者全面地掌握所学知识。《数学物理方法第三版答案姚端正ch3》作为数学物理学习的辅助教材，对于学习者来说具有很高的参考价值。通过仔细阅读和学习本书，读者可以更好地理解和掌握第三章涵盖的数学物理方法，提高自己的学习水平和能力。总之，《数学物理方法第三版答案姚端正ch3》是一本很好的数学物理学习参考书，它对于读者深化对数学物理方法的理解和掌握具有很大的帮助，是一本不可多得的好书。希望广大学习者能够认真阅读和学习本书，从中受益匪浅。

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