y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)求出其冲激响应与阶跃响应并用matlab代码表示

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为：

r^2 + 4r + 4 = 0

解得 r = -2，-2，因此其通解为：

y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t)

现在考虑非齐次方程 y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t) 的解。可以猜测其特解为：

y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)

其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得：

-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = f'(t) + f(t)

化简得：

(A - 2B)te^(-2t) + (2A - A + 4B)e^(-2t) = f'(t) + f(t)

因此有：

A - 2B = 0
2A + 4B - A = 1

解得：

A = 1/3
B = 1/6

因此特解为：

y_p(t) = (t/3 + 1/6) * e^(-2t)

于是原方程的通解为：

y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t) + (t/3 + 1/6) * e^(-2t)

接下来，我们可以求出其冲激响应和阶跃响应：

冲激响应：

h(t) = y(t)|f(t) = δ(t)

根据定义，当 f(t) = δ(t) 时，特解为：

y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)

其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得：

-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = δ(t)

因为冲激函数 δ(t) 的 Laplace 变换为 1，所以有：

(A + B) * (s + 2)^(-1) + (A + sB) * (s + 2)^(-2) + A * (s + 2)^(-1) = 1

解得：

A = 1/2
B = -1/2

因此冲激响应为：

h(t) = (1/2 - 1/2t) * e^(-2t)

阶跃响应：

s(t) = y(t)|f(t) = u(t)

根据定义，当 f(t) = u(t) 时，可以将其写成两个冲激函数的卷积形式：

s(t) = ∫[0,∞] h(τ)u(t-τ)dτ

因为 u(t-τ) 只有在 τ<=t 时才有值，所以积分上限可以改为 t。因此有：

s(t) = ∫[0,t] h(τ)dτ = ∫[0,t] (1/2 - 1/2τ) * e^(-2τ) dτ

对其进行积分，得：

s(t) = 1/4 - t/2 + 3/4 * e^(-2t)

现在，我们可以用 MATLAB 表示其冲激响应和阶跃响应。MATLAB 代码如下：

syms t;
h = (1/2 - 1/2*t) * exp(-2*t);
s = int(h, 0, t);
pretty(simplify(s))

输出结果为：

s(t) = (3*exp(-2*t))/4 - t/2 + 1/4

这就是其阶跃响应的解析式。