详细讲解一下特征值与特征向量

特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们通常用于描述矩阵的性质和变换。

特征值（eigenvalue）是一个数，它表示矩阵在某个方向上的“拉伸”或“压缩”程度。具体来说，如果一个 n × n 的方阵 A 乘以一个 n 维列向量 x，得到的结果是一个新的 n 维列向量 λx，其中 λ 是一个实数，那么 λ 就是矩阵 A 的一个特征值。特征值可以用特征方程来求解，即 det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵。

特征向量（eigenvector）是与特征值相对应的、非零的列向量，它表示在该方向上进行线性变换时，向量的方向不发生变化，只发生了长度的变化。具体来说，如果一个 n × n 的方阵 A 乘以一个 n 维列向量 x，得到的结果是一个新的 n 维列向量 λx，那么 x 就是矩阵 A 的一个特征向量。一个矩阵可以有多个特征向量，每个特征向量都对应一个特征值。

特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和变换。例如，如果一个矩阵有一个特征值为零，那么它就是一个奇异矩阵，不能被求逆；如果一个矩阵的所有特征向量都是正交的，那么它就是一个对称矩阵，可以被对角化等等。在机器学习和数据分析中，特征值和特征向量也经常用于降维、主成分分析等领域。