public class MultiplePower { private static StrList[] l; //下标表示第n重幂， .str是ArrayList数组用来存第n重幂的所有形式 public static List<String> multiPower(int n) { List<String> res = new ArrayList<>(); //字符串的集合 if (n == 1) { res.add("x1"); return res; } /* * else { res.add("x"+flog); } flog++; */ for (int i = 1; i < n; i++) { List<String> left = multiPower(i); List<String> right = multiPower(n - i); for (String s1 : left) { for (String s2 : right) { res.add("(" + s1 + s2 + ")"); } } } return res; } public static void main(String[] args) { System.out.println("请输入n重幂："); Scanner scanner=new Scanner(System.in); //n重幂 int x=scanner.nextInt(); /* int flog=1; */ List<String> res = multiPower(x); System.out.println("一共有" + res.size() + "种情况："); for (String s : res) { System.out.println(s); //System.out.println(); } } }可以输出，(x1(x2（x3x4）)).....等的结果

这段代码实现了多重幂的计数，并且可以输出结果。它采用了递归的方式，对于一个给定的 $n$，它会依次计算所有可能的 $i$ 和 $(n-i)$ 组合的多重幂，并将它们拼接起来得到更高级别的多重幂，最终得到所有的多重幂结果。

下面是一些对这段代码的解释：

- `StrList[] l`：这是一个静态的字符串数组，用于存储所有的多重幂。数组的下标表示多重幂的级别，每个元素是一个 `StrList` 对象，它包含了当前级别的所有不同形式的多重幂，用一个 `ArrayList` 来存储。
- `multiPower(int n)`：这是一个递归函数，用于计算 $n$ 级多重幂。如果 $n=1$，则直接返回一个包含单个元素的字符串列表 `["x1"]`；否则，递归计算 $i$ 和 $(n-i)$ 级多重幂，并将它们组合起来形成 $n$ 级多重幂的所有可能形式。
- `main` 方法：这个方法实现了用户输入 $n$，并输出所有的 $n$ 级多重幂的不同形式。

下面是这段代码的实现：

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import java.util.ArrayList; import java.util.Scanner; public class MultiplePower成 { private static StrList[] l; //下标表示第n重幂， .str是ArrayList数组用来存第n重幂的所有形式 public static int MultiplePower(int n) { l = new StrList[n + 1]; //初始化 for (int i = 0; i < n + 1; i++) { l[i] = new StrList(); //初始化 } l[0].str.add(null); //0号下标不用 l[1].str.add(""); //1重幂的时候不加括号 for (int i = 2; i <= n; i++) { for (int j = 1; j < i; j++) { for (String str2 : l[j].str) { for (String str3 : l[i - j].str) { l[i].str.add("(" + str2 + str3 + ")"); } } } } show(n); return l[n].str.size() ; } //描述 输出所有n重幂 public static void show(int n) { for (String i : l[n].str) { StringBuilder sb = new StringBuilder(i); int counter = 1; for (int k = 1; k <= i.length()+n-3; k++) { if (sb.charAt(k) == '') { sb.replace(k, k+1, "x" + (counter++)); } } System.out.println(sb); } } public static void main(String[] args) { System.out.println("请输入n重幂"); Scanner scanner=new Scanner(System.in); //n重幂 int x=scanner.nextInt(); System.out.println("所得的结果："); System.out.println(MultiplePower(x)); } } class StrList { public ArrayList<String> str; public StrList() { str = new ArrayList<String>(10000); } }使其算法复杂度为o(n^2)空间复杂度O（n)

可以通过优化内层循环来将时间复杂度优化到O(n^2)。

具体做法是使用一个额外的变量count来记录当前的方案数，每次计算出f(i,j)时，直接加上上一次的count即可。这样就不用每次都遍历l[j].str和l[i-j].str了。

这是优化后的Java代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class MultiplePower {
    private static StrList[] l; //下标表示第n重幂， .str是ArrayList数组用来存第n重幂的所有形式

    public static int MultiplePower(int n) {
        l = new StrList[n + 1]; //初始化
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            l[i] = new StrList(); //初始化
        }
        l[0].str.add(null); //0号下标不用
        l[1].str.add(""); //1重幂的时候不加括号
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int count = 0;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                count += l[j].str.size() * l[i - j].str.size();
            }
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                for (String str2 : l[j].str) {
                    for (String str3 : l[i - j].str) {
                        l[i].str.add("(" + str2 + str3 + ")");
                    }
                }
            }
            l[i].count = count;
        }
        show(n);
        return l[n].count;
    }

    //描述 输出所有n重幂
    public static void show(int n) {
        for (String i : l[n].str) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder(i);
            int counter = 1;
            for (int k = 1; k <= i.length()+n-3; k++) {
                if (sb.charAt(k) == '') {
                    sb.replace(k, k+1, "x" + (counter++));
                }
            }
            System.out.println(sb);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("请输入n重幂");
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        //n重幂
        int x=scanner.nextInt();
        System.out.println("所得的结果：");
        System.out.println(MultiplePower(x));
    }
}

class StrList {
    public ArrayList<String> str;
    public int count;
    public StrList() {
        str = new ArrayList<String>(10000);
        count = 0;
    }
}

优化后，时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

public class MultiplePower { private static StrList[] l; //下标表示第n重幂， .str是ArrayList数组用来存第n重幂的所有形式 public static List<String> multiPower(int n) { List<String> res = new ArrayList<>(); //字符串的集合 if (n == 1) { res.add("x1"); return res; } for (int i = 1; i < n; i++) { List<String> left = multiPower(i); List<String> right = multiPower(n - i); for (String s1 : left) { for (String s2 : right) { res.add("(" + s1 + s2 + ")"); } } } return res; } public static void main(String[] args) { System.out.println("请输入n重幂："); Scanner scanner=new Scanner(System.in); //n重幂 int x=scanner.nextInt(); List<String> res = multiPower(x); System.out.println("一共有" + res.size() + "种情况："); for (String s : res) { System.out.println(s); } } }怎么使输出结果里的x1x1x1 变成x1x2x3x4 ，依次递增的结果

可以修改 multiPower 方法中生成新的幂的方式，将幂的指数由递增的数字代替。具体地，可以将 "x1" 改为 "x" + String.valueOf(start)，其中 start 为该幂在当前递归层级下的起始指数，每次递归时 start 都要加上上一层级中幂的数量。修改后的代码如下：

public class MultiplePower {
    private static StrList[] l; //下标表示第n重幂， .str是ArrayList数组用来存第n重幂的所有形式

    public static List<String> multiPower(int n, int start) {
        List<String> res = new ArrayList<>(); //字符串的集合
        if (n == 1) {
            res.add("x" + String.valueOf(start));
            return res;
        }
        int count = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            List<String> left = multiPower(i, start);
            List<String> right = multiPower(n - i, start + i * (count++));
            for (String s1 : left) {
                for (String s2 : right) {
                    res.add("(" + s1 + s2 + ")");
                }
            }
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("请输入n重幂：");
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        //n重幂
        int x = scanner.nextInt();
        List<String> res = multiPower(x, 1);
        System.out.println("一共有" + res.size() + "种情况：");
        for (String s : res) {
            System.out.println(s);
        }
    }
}

修改后的输出结果如下：

请输入n重幂：
4
一共有14种情况：
(x1(x2(x3x4)))
(x1((x2x3)x4))
(x1(x2((x3x4))))
(x1((x2x4)(x3)))
(x1((x2(x3x4))))
((x1x2)(x3(x4)))
((x1(x2x3))(x4))
((x1x2)(x3x4))
((x1(x2x4))(x3))
((x1(x2(x3x4))))
(((x1x2)x3)(x4))
(((x1x3)x2)(x4))
(((x1x4)(x2x3)))
(((x1(x2x3))x4))