matlab求多元函数极限

对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 沿着任意一条路径趋于点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 时，$f$ 的函数值 $y$ 都趋于一个确定的常数 $A$，则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 处有极限，记作：

$$\lim_{\substack{x_1\rightarrow a_1\\x_2\rightarrow a_2\\\cdots\\x_n\rightarrow a_n}}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=A$$

多元函数极限的求解方法和一元函数类似，可以通过极坐标、柯西收敛准则等方法来求解。下面以极坐标法为例，介绍如何求解多元函数的极限。

极坐标法：

设 $x_1=a_1+r\cos\theta_1,x_2=a_2+r\sin\theta_1\cos\theta_2,\cdots,x_{n-1}=a_{n-1}+r\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1},x_n=a_n+r\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}$，其中 $r\geq0,0\leq\theta_1\leq2\pi,0\leq\theta_2\leq\pi,\cdots,0\leq\theta_{n-2}\leq\pi,0\leq\theta_{n-1}\leq2\pi$。

则有：

$$\lim_{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\rightarrow(a_1,a_2,\cdots,a_n)}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\lim_{r\rightarrow0}\left(f(a_1+r\cos\theta_1,a_2+r\sin\theta_1\cos\theta_2,\cdots,a_n+r\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1})\right)$$

当该极限存在时，即为多元函数在点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的极限。