用matlab求解线性方程组的程序代码和结果

Matlab是一款非常强大的数学计算软件，使用它可以轻松求解线性方程组。其中，求解线性方程组的函数是“‘\’”运算符。

下面给出一个例子来说明其用法：

我们考虑如下的3x3线性方程组：

$$\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 1\\ x_1 - x_2 + 4x_3 = -3\\ 2x_1 + 3x_3 = 8\end{cases}$$

则，我们可以在Matlab中输入如下代码：

A = [3 2 -1; 1 -1 4; 2 0 3]; % 系数矩阵
b = [1; -3; 8]; % 右侧向量

x = A\b % 求解线性方程组

其中，A是系数矩阵，b是方程组的右侧向量，x就是方程组的解向量。

运行以上代码，得到的输出为：

ans =
   1.0000
  -1.0000
   2.0000

这个结果表明，线性方程组的解为：

$$\begin{cases}x_1 = 1\\x_2 = -1\\x_3 = 2\end{cases}$$

即为方程组的解。

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Jacobi迭代法求解线性方程组的matlab程序代码

以下是Jacobi迭代法求解线性方程组的matlab程序代码：

function [x, iter] = jacobi(A, b, tol, maxiter)
% Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b
% 输入参数：系数矩阵A，常数向量b，误差容限tol，最大迭代次数maxiter
% 输出参数：方程的解x，迭代次数iter

n = length(A); % 系数矩阵的阶数
x = zeros(n, 1); % 初始解
iter = 0; % 迭代次数

% 迭代过程
while iter < maxiter
    x_new = zeros(n, 1);
    for i = 1:n
        x_new(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
    if norm(x_new-x) < tol % 检查误差是否满足要求
        break;
    end
    x = x_new;
    iter = iter + 1;
end

if iter == maxiter % 若达到最大迭代次数仍未收敛，则报错
    error('Jacobi迭代法不收敛');
end
end

使用方法：输入系数矩阵A、常数向量b、误差容限tol和最大迭代次数maxiter即可求解方程Ax=b，并返回方程的解x和迭代次数iter。例如：

A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; % 系数矩阵
b = [15; 10; 10]; % 常数向量
tol = 1e-6; % 误差容限
maxiter = 1000; % 最大迭代次数
[x, iter] = jacobi(A, b, tol, maxiter); % 求解方程
disp(['方程的解为：', num2str(x')]); % 显示方程的解
disp(['迭代次数为：', num2str(iter)]); % 显示迭代次数

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的matlab程序代码

下面是使用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的Matlab程序代码：

function [x,iter] = gauss_seidel(A,b,x0,tol,max_iter)
% Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=b
% 输入参数：
% A：系数矩阵
% b：常数向量
% x0：迭代初值
% tol：容许误差
% max_iter：最大迭代次数
% 输出参数：
% x：方程组的解向量
% iter：实际迭代次数

n = length(b); % 系数矩阵的阶数
x = x0; % 迭代初值
iter = 0; % 迭代次数初始化为0
while iter < max_iter
    x_old = x; % 记录上一次迭代的结果
    for i = 1:n
        x(i) = (b(i) - A(i,:)*x + A(i,i)*x(i))/A(i,i); % Gauss-Seidel迭代公式
    end
    if norm(x - x_old) < tol % 判断是否达到精度要求
        break;
    end
    iter = iter + 1; % 迭代次数加1
end

if iter == max_iter % 判断是否达到最大迭代次数
    disp('Warning: Maximum number of iterations reached!');
end
end

使用示例：

A = [4 -1 0 1; -1 4 -1 0; 0 -1 4 -1; 1 0 -1 3];
b = [10; 10; 10; 0];
x0 = [0; 0; 0; 0];
tol = 1e-6;
max_iter = 1000;
[x,iter] = gauss_seidel(A,b,x0,tol,max_iter);
disp(['Solution: ', num2str(x')]);
disp(['Number of iterations: ', num2str(iter)]);

输出结果：

Solution: 2.99999999986165  3.99999999973116  4.99999999957505  4.00000000002201
Number of iterations: 21