将 1 , 2 , … , 9 1,2,…,9 共 9 9 个数分成 3 3 组,分别组成 3 3 个三位数,且使这 3 3 个三位数构成 1 : 2 : 3 1:2:3 的比例,试求出所有满足条件的 3 3 个三位数。
时间: 2024-06-01 22:09:52 浏览: 57
设这 3 个三位数分别为 $100a_1+b_1$,$100a_2+b_2$,$100a_3+b_3$,其中 $a_1,a_2,a_3$ 为百位数,$b_1,b_2,b_3$ 为十位数和个位数。
因为 $1:2:3$ 的比例可以化为 $2:4:6$,所以有 $2(100a_1+b_1)=4(100a_2+b_2)=6(100a_3+b_3)$。
化简可得 $100a_1+b_1=2(100a_3+b_3)$,$100a_1+b_1=3(100a_2+b_2)$。
因为 $b_1,b_2,b_3$ 都是 $1$ 至 $9$ 的数字,所以 $100a_1+b_1$ 的值只可能是 $2\times11$ 至 $2\times99$ 中的偶数,而 $100a_1+b_1$ 的值只可能是 $3\times11$ 至 $3\times99$ 中的 $3$ 的倍数。
考虑到 $a_1,a_2,a_3$ 均不为 $0$,所以 $100a_1+b_1$ 的值只可能是 $2\times22$,$2\times44$,$2\times66$,$2\times88$ 中的一个,而 $100a_1+b_1$ 的值只可能是 $3\times33$,$3\times66$ 中的一个。
因此,$100a_1+b_1=66,88$,且 $100a_1+b_1=99$,$100a_1+b_1=132$。根据这些条件,我们可以列出所有符合要求的三位数:
$$\begin{aligned} 1&\quad 2&\quad 3\\ 2\times33&\quad 2\times66&\quad 3\times33\\ 2\times44&\quad 2\times88&\quad 3\times66\\ 2\times11&\quad 2\times22&\quad 3\times99\\ 2\times77&\quad 2\times99&\quad 3\times132\\ \end{aligned}$$
因此,所有符合要求的三位数分别为 $132,264,396$,$154,308,462$,$176,352,528$,$198,396,594$。
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