14. 请判断 |↑↑〉 − |↑↓〉 + |↓↑〉 − |↓↓〉 是否为纠缠态
时间: 2023-08-27 19:17:40 浏览: 22
这个态是:
$$
|\psi\rangle = |u\rangle \otimes |u\rangle + |d\rangle \otimes |u\rangle - |u\rangle \otimes |d\rangle - |d\rangle \otimes |d\rangle
$$
其中 $|u\rangle$ 和 $|d\rangle$ 分别表示自旋向上和向下的态。我们可以计算一下它的密度矩阵:
$$
\rho = |\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2}\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\right)
$$
计算出它的本征值为 $0, 0, 1, 3$。因为它有一个本征值是 $1$,所以它是一个纠缠态。
相关问题
如何用数学方法证明纠缠态中无法知道单个自旋处于什么量子态
首先,我们需要了解纠缠态的定义和性质。在量子力学中,当两个或多个自旋之间存在纠缠时,它们的状态将不能被分解为单个自旋的状态的简单乘积形式。这种纠缠状态的表达方式是使用一个波函数。例如,两个自旋1/2的粒子可以处于以下纠缠态:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2 - |\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2) $$
其中,$|\uparrow\rangle$ 和 $|\downarrow\rangle$ 分别表示自旋向上和向下的态。这个波函数表示了两个自旋的纠缠态,因为它不能被分解成单个自旋的态的简单乘积形式。
现在我们来证明,在这样的纠缠态中,我们无法知道单个自旋处于什么量子态。假设我们有两个纠缠的自旋,它们的状态可以用以下波函数表示:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2 - |\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2) $$
现在我们想知道第一个自旋处于什么量子态。我们可以测量第一个自旋,以此来确定它的状态。测量结果可以是向上或向下,每个测量结果的概率分别为1/2。假设我们测量得到了自旋向上的结果,这意味着我们在测量时使纠缠态坍缩到了另一个态,即:
$$ |\psi'\rangle = |\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2 $$
现在我们想知道第二个自旋处于什么量子态。根据量子力学的原理,我们必须用相同的方式来测量第二个自旋。但是,我们已经使第一个自旋的纠缠态坍缩到了一个确定的态,这意味着测量第二个自旋时,我们只能得到与第一个自旋相反的结果,即向下。因此,我们不能同时知道两个自旋的状态。
这就是为什么在纠缠态中,我们无法知道单个自旋处于什么量子态的数学证明。在测量过程中,我们总是会破坏纠缠态,将它们坍缩到一个确定的态,从而使其他自旋的状态也变得确定。
波粒二象性、态叠加、纠缠
波粒二象性是指微观粒子既可以表现出粒子的性质,也可以表现出波的性质。例如,电子、光子等微观粒子既可以表现出粒子的位置、动量等性质,也可以表现出波长、频率等波的性质。
态叠加是指量子力学中,一个量子系统可以处于多个态的叠加态中,这些态之间可以相互干涉。例如,一个电子可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态中,这个叠加态可以相互干涉,导致电子在某些位置的概率更大,在另一些位置的概率更小。
纠缠是指两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关系,使得它们之间的状态是相互依存的。例如,两个纠缠的电子,当其中一个电子的自旋向上时,另一个电子的自旋就会向下,即使这两个电子之间的距离很远。这种关系是一种非局域性的关系,即它不受空间距离的限制。
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