请告诉我思路：若直线y = kx + b是曲线y = lnx + 2的切线，也是曲线y = ln(x +1 )的切线，求出b的值

首先，我们可以利用求导的方法来求出曲线 $y=lnx+2$ 和 $y=ln(x+1)$ 的切线斜率。

对于 $y=lnx+2$，它的导函数为 $y' = \frac{1}{x}$，在 $x_0$ 处的切线斜率为 $k_1 = \frac{1}{x_0}$。

对于 $y=ln(x+1)$，它的导函数为 $y' = \frac{1}{x+1}$，在 $x_1$ 处的切线斜率为 $k_2 = \frac{1}{x_1+1}$。

由于直线 $y=kx+b$ 是两个曲线的切线，所以它的斜率 $k$ 必须等于 $k_1$ 和 $k_2$ 中的一个。

因此，我们可以列出方程组：

$$
\begin{cases}
k = \frac{1}{x_0} \\
k = \frac{1}{x_1+1}
\end{cases}
$$

解得 $x_0 = \frac{1}{k}$，$x_1 = \frac{1}{k}-1$。

接下来，我们可以利用求切线的方法来求出直线 $y=kx+b$ 的截距 $b$。

对于曲线 $y=lnx+2$，在 $x_0$ 处的切线方程为 $y - (lnx_0+2) = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。

因为直线 $y=kx+b$ 是该切线，所以我们可以将 $k = \frac{1}{x_0}$ 代入，得到：

$$
y - (lnx_0+2) = x - 1
$$

对于曲线 $y=ln(x+1)$，在 $x_1$ 处的切线方程为 $y - (ln(x_1+1)+1) = \frac{1}{x_1+1}(x - x_1)$。

同样地，因为直线 $y=kx+b$ 是该切线，我们可以将 $k = \frac{1}{x_1+1}$ 代入，得到：

$$
y - (ln(x_1+1)+1) = x - x_1 - 1
$$

由于直线 $y=kx+b$ 是两个切线，所以它们必须在点 $(x_0,lnx_0+2)$ 和 $(x_1,ln(x_1+1)+1)$ 上相交。

因此，我们可以将上面两个方程联立，解得：

$$
b = ln(x_0+1) - x_0 = ln(x_1+2) - x_1 - 1
$$

将 $x_0$ 和 $x_1$ 的表达式代入，得到：

$$
b = ln(\frac{1}{k}+1) - \frac{1}{k} = ln(\frac{1}{k}-1+2) - \frac{1}{k} - 1
$$

化简后得到：

$$
b = ln(\frac{2k}{k-1}) - \frac{1}{k} - 1
$$

因此，我们可以通过求出曲线 $y=lnx+2$ 和 $y=ln(x+1)$ 的切线斜率，以及利用相交点的方式求出直线 $y=kx+b$ 的截距 $b$，从而得到 $b$ 的值。