在PINN框架下用FDM取代自动微分如何做，帮我找到代码案例

在PINN (Physics-Informed Neural Networks) 框架中，通常会使用自动微分(Automatic Differentiation, AD)来计算神经网络的梯度，以便优化模型。然而，如果你想要在有限差分法(Finite Difference Method, FDM)的背景下替换自动微分，可以将邻域内的函数值近似求导。

首先，你需要确定神经网络的每个权重更新点，并在该点附近采样一组数据，然后通过有限差分公式计算出导数。例如，对于一阶导数，你可以使用中心差分或向前/向后差分：

1. 中心差分：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)
2. 向前差分：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h
3. 向后差分：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h

其中，h是步长（一般很小），用于控制精度与稳定性。

在Python中，你可以结合TensorFlow、PyTorch等深度学习库提供的数值计算工具（如`tf.GradientTape` 或 `torch.autograd.functional`），编写一个自定义的求导函数来应用FDM。下面是一个简化的例子（假设我们使用TensorFlow）：

import tensorflow as tf

def finite_difference_gradient(model, inputs, h=1e-4):
    with tf.GradientTape(persistent=True) as tape:
        tape.watch(inputs)
        outputs = model(inputs)
        # 计算损失，这里假设是预测物理量的误差
        loss = ... # your_loss_function(outputs, physics_equations)
    
    forward_diff = tape.gradient(loss, inputs, unconnected_gradients='zero') / h
    backward_diff = tape.gradient(loss, inputs, output_gradients=tf.ones_like(outputs), unconnected_gradients='zero') / h
    
    return {'forward': forward_diff, 'backward': backward_diff}

# 使用时
inputs = ... # 网络输入
model = ... # PINN模型
gradient_dict = finite_difference_gradient(model, inputs)

注意，这只是一个基本示例，实际应用中你可能需要处理边界条件、适应更复杂的差异公式以及调整步长等问题。同时，由于FDM的效率较低，特别是在高维和大规模数据上，通常只在验证理论或教学演示时采用。