Python定积分辛普森法推导

定积分是微积分中的一个重要概念，辛普森法是一种数值积分方法，可以用于计算定积分的近似值。下面是Python中使用辛普森法计算定积分的推导过程：

假设我们要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，可以将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。则有：

$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+...+2f(a+2(n-1)h)+4f(a+2nh)+f(b)]$$

这就是辛普森公式的一般形式。其中，n为偶数，h为步长，f(x)为被积函数。

在Python中，可以使用SciPy库中的quad函数来计算定积分的近似值。具体实现方法如下：

from scipy import integrate

def f(x):
    return x**2

a = 0
b = 1
result, error = integrate.quad(f, a, b)
print(result)

这段代码中，我们定义了一个函数f(x)=x^2，然后使用quad函数计算了f(x)在区间[0,1]上的定积分。quad函数返回两个值，第一个值为积分的近似值，第二个值为误差估计值。

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以下是Python定积分抛物线辛普森法的推导过程：

假设要求解函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，将区间[a,b]上的积分转化为每个小区间上的积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。

将每个小区间上的积分用抛物线来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点。

将上式中的每个小区间的积分用二次函数的定积分来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。

最终，将上式中的每个小区间的积分用二次函数的定积分来近似，即用三个点(a,f(a))、((a+b)/2,f((a+b)/2))、(b,f(b))来构造一个二次函数，将每个小区间上的积分转化为对应二次函数的定积分，即

∫[a,b]f(x)dx ≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]
≈ h/3[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] + h/3[f(b)+4f((b+c)/2)+f(c)] + ... + h/3[f((n-1)h)+4f(nh)+f(b)]

其中，(a,b,c)是每个小区间的左端点、中点和右端点，(a+b)/2、(b+c)/2、...、(n-1)h+nh是每个小区间的中点。