质点在Oxy平面内运动，其运动方程为r=2ti+（19-2t*t）j（SI单位）。求质点的轨道方程

### 回答1：
根据题目给出的运动方程r=2ti （19-2t*t）j，可以得到质点在Oxy平面内做曲线运动，其中t为时间，i和j为单位向量。为了求质点的轨道方程，我们需要将r表示为x和y的函数。

将r=2ti （19-2t*t）j展开，得到r=2txi + (19t-2t*t*t)j。因此，质点的轨道方程为x=2t，y=19t-2t*t*t。

### 回答2：
首先，我们知道轨道方程可以根据质点的速度和位移来确定。我们已经给出了质点的运动方程r=2ti(19-2t^2)j。

要确定质点的速度v，我们可以对运动方程r关于时间t求导，得到：
v = dr/dt = 2i(19-2t^2)j + 2ti(-4t)j = 38ij - 4t^3j - 8tij^2
由于Oxy平面内，i和j方向分别对应x和y轴，所以可以分解出质点在x轴和y轴上的速度分量：
vx = 38i - 8tj
vy = -4t^3j

因此，质点的速度v = vx + vy = 38i - 8tj - 4t^3j

接下来，我们可以对质点的速度v再次求导，得到质点的加速度a：
a = dv/dt = d(38i - 8tj - 4t^3j)/dt = -8j - 12t^2j - 4tj^2
由于加速度的定义为速度关于时间t的导数，所以加速度在x轴上的分量为0，加速度在y轴上的分量为-8 - 12t^2。

我们可以使用加速度来验证轨道方程的正确性，如果质点的加速度满足a = dv/dt，则表示轨道方程正确。

现在我们有了质点的加速度，我们可以将其代入牛顿第二定理F = ma 中，由于质点的质量未给出，我们可以假设质点的质量为1，这样质点的加速度就等于质点所受的合力。

a = F = -8j - 12t^2j
考虑到仅受重力作用，质点所受的合力只有重力，所以 F = mg = -gj，其中g是重力加速度。

将F和a相等，我们可以得到-8j - 12t^2j = -gj
解方程，我们可以得到g = 8 + 12t^2

由于这里质点的质量为1，重力加速度恒定，所以我们可以得到 g = 8 + 12t^2 = const。
求导 t 对 g 的一次积分 ∫(8 + 12t^2)dt = 8t + 4t^3 + C = s (s为常数)

所以，质点的轨道方程为 r = 2ti(19-2t^2)j + (8t + 4t^3 + C)j，其中C为积分常数。

### 回答3：
首先，我们已知质点在Oxy平面内运动，其位置矢量用r表示。

根据给定的运动方程为 r=2ti(19-2t^2)j

其中t表示时间，i 和 j 是单位向量。可以看出，这个运动方程是一个二维向量方程，分别描述了x轴和y轴方向上的运动。

我们可以将上述方程拆分为分别描述x轴和y轴的两个方程：

x = 2ti （1）
y = (19-2t^2)j （2）

我们可以从方程（1）中得到t的表达式：t = x/(2i)
将上述表达式代入方程（2）中，可以得到y关于x的表达式。

y = (19 - 2(x/(2i))^2)j
= (19 - 2(x^2)/(4i^2))j
= (19 - (x^2)/2)j

因此，质点的轨道方程为 y = 19 - (x^2)/2，其中x和y表示质点在Oxy平面内的位置坐标。

这个轨道方程是一个抛物线方程，打开口朝下，顶点位于19处。质点沿着这个抛物线运动，其轨迹可以看作是一个对称于y轴的抛物线。