研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧效率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为，燃烧率的样本均值分布为cm/s，cm/s，设两样本独立，用R语言求两燃烧率总体均值差的置信水平为0.99的置信区间。

根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，其均值为总体均值，标准差为标准误差，即：

$$
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}
$$

其中，$s$ 为样本标准差，$n$ 为样本容量。

由于两个样本均服从正态分布，所以其差值也服从正态分布：

$$
\bar{X_1}-\bar{X_2}\sim N(\mu_1-\mu_2,SE_1^2+SE_2^2)
$$

其中，$SE_1$ 和 $SE_2$ 分别为两个样本的标准误差。

由于两个样本的标准差已知，可以直接计算标准误差：

$$
SE_1=SE_2=0.05/\sqrt{100}=0.005
$$

因此，两燃烧率总体均值差的一个 99% 置信区间为：

$$
(\bar{X_1}-\bar{X_2} \pm z_{0.995}\sqrt{SE_1^2+SE_2^2})
$$

其中，$z_{0.995}$ 为标准正态分布的 99.5% 分位数，约为 2.576。

将样本均值代入公式中，得到：

$$
(2.5-2.4 \pm 2.576\times\sqrt{0.005^2+0.005^2})
$$

计算可得，置信区间为 $(0.047,0.153)$，即两燃烧率总体均值差的 99% 置信区间为 $(0.047,0.153)$。

相关问题

研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧效率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为 ，燃烧率的样本均值分布为 cm/s， cm/s，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差 的置信水平为0.99的置信区间。

根据中心极限定理，样本均值的差值服从正态分布，其均值为总体均值差，标准差为
$$
\sigma_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}=\sqrt{\frac{0.05^2}{50}+\frac{0.05^2}{50}}=0.01
$$
由于总体标准差未知，故采用t分布，求出t分布0.995分位点为2.602。
置信区间为
$$
(\bar{x}_1-\bar{x}_2-t_{\alpha/2}\sigma_{\bar{x}_1-\bar{x}_2},\bar{x}_1-\bar{x}_2+t_{\alpha/2}\sigma_{\bar{x}_1-\bar{x}_2})\\
=(0.1-0.09-2.602\times0.01,0.1-0.09+2.602\times0.01)\\
=(-0.026,0.046)
$$
因此，两燃烧率总体均值差的置信水平为0.99的置信区间为(-0.026,0.046)。

3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧效率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1 = n2 = 20，燃烧率的样本均值分布为x = 18cm/s，x = 24cm/s，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差u1-u2的置信水平为0.99的置信区间。

根据中心极限定理，样本均值$x_1$和$x_2$的差值$(x_1 - x_2)$也服从正态分布，均值为总体均值差$u_1 - u_2$，标准差为$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$。其中，$\sigma_1$和$\sigma_2$分别是两种固体燃料的燃烧率的标准差，$n_1$和$n_2$分别是两种固体燃料的样本容量。

由于总体均值差$u_1 - u_2$的置信水平为0.99，所以根据正态分布的性质，有：

$$P(-2.576 \leq \frac{(x_1 - x_2) - (u_1 - u_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \leq 2.576) = 0.99$$

将样本容量$n_1 = n_2 = 20$，燃烧率的标准差$\sigma_1 = \sigma_2 = 0.05$cm/s，样本均值$x_1 = 18$cm/s，$x_2 = 24$cm/s代入上式，得到：

$$P(-3.745 \leq \frac{(18 - 24) - (u_1 - u_2)}{\sqrt{\frac{0.05^2}{20} + \frac{0.05^2}{20}}} \leq 3.745) = 0.99$$

化简可得：

$$P(5.872 \leq u_1 - u_2 \leq 11.872) = 0.99$$

因此，两燃烧率总体均值差$u_1-u_2$的置信水平为0.99的置信区间为$[5.872, 11.872]$。