三重积分的对称性和奇偶性

三重积分的对称性和奇偶性取决于被积函数和积分区域的对称性和奇偶性。

如果被积函数 $f(x,y,z)$ 满足 $f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)$，即在三个变量中有偶对称性，则有：

$$
\iiint\limits_{V} f(x,y,z) \, \mathrm{d}V = 2\iiint\limits_{V_{+}} f(x,y,z) \, \mathrm{d}V,
$$

其中 $V_{+}$ 表示 $x>0$ 时的积分区域。

如果被积函数 $f(x,y,z)$ 满足 $f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)$，即在三个变量中有奇对称性，则有：

$$
\iiint\limits_{V} f(x,y,z) \, \mathrm{d}V = 0.
$$

此外，积分区域的对称性和奇偶性也会影响积分结果的对称性和奇偶性。例如，如果积分区域关于 $xy$ 平面对称，则有：

$$
\iiint\limits_{V} f(x,y,z) \, \mathrm{d}V = 2\iiint\limits_{V_{+}} f(x,y,z) \, \mathrm{d}V - \iint\limits_{S} f(x,y,z) \, \mathrm{d}S,
$$

其中 $S$ 表示积分区域 $V$ 的表面。