有 n 个互不相同的元素,记作V1,V2,..., Vn ,按下标从小到大的次序到达一个初始状态为空的栈并全部进栈,但只有 m 个元素出栈,这 m 个出栈元素构成的序列有多少种可能?
时间: 2024-06-03 09:08:30 浏览: 19
假设当前栈中的元素为$S$,待入栈的元素为$V_i$,已经出栈的元素为$O$。则有以下两种情况:
1. $V_i$不在出栈序列中。此时$V_i$可以入栈,也可以不入栈。如果选择入栈,则$V_i$加入栈中,$S$变为$S\cup \{V_i\}$,$i$加1。如果选择不入栈,则$S$不变,$i$加1。
2. $V_i$在出栈序列中。此时只能将栈顶元素出栈,即$S$变为$S\setminus \{S_{top}\}$,$O$变为$O\cup \{S_{top}\}$,$i$不变。
因此,问题可以转化为一个递归问题:从初始状态开始,按照上述规则递归处理,直到已经出栈$m$个元素。具体地,设$dp(i,j,k)$表示当前栈中元素为$S_i=\{V_{i+1},...,V_n\}$,已经出栈$j$个元素,出栈元素为$O_k$的方案数。则有以下转移方程:
$$
dp(i,j,k)=\begin{cases}
dp(i+1,j,k)+dp(i+1,j+1,k)& (k<m)\\
dp(i+1,j,k)& (k=m)
\end{cases}
$$
其中,第一种情况对应$V_{i+1}$不在出栈序列中,第二种情况对应$V_{i+1}$在出栈序列中。
最终答案即为$dp(0,0,0)$。时间复杂度$O(nm^2)$,空间复杂度$O(nm^2)$。具体实现时可以使用记忆化搜索或动态规划优化空间复杂度。
相关问题
有n个互不相同的元素,记作V1,V2,…,Vn,按下标从小到大的次序到达一个初始状态为空的栈并全部进栈,但只有m个元素出栈,这m个出栈元素构成的序列有多少种可能?
假设当前已经有k个元素入栈,j个元素已经出栈,则还需要入栈n-k个元素,出栈m-j个元素。根据栈的性质,只有当已经入栈的元素个数大于等于已经出栈的元素个数时,才能进行出栈操作。因此,对于每个状态,有以下两种选择:
1. 入栈一个元素,即k+1,j不变。
2. 如果已经入栈的元素个数大于已经出栈的元素个数,可以选择出栈一个元素,即k不变,j+1。
递归地进行上述选择,直到所有元素都出栈,即j=m。此时,一个可行的出栈序列就构成了。因此,问题转化为在所有可行的选择中,选择出栈的方案数。
考虑使用动态规划,设f[i][j]表示已经入栈i个元素,已经出栈j个元素的方案数。根据上述分析,可以得到状态转移方程:
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-1] (i > j)
其中,第一项表示选择入栈一个元素,第二项表示选择出栈一个元素。初始状态为f[0][0]=1,因为一个元素都没入栈也没出栈,可以看作是一种可行的方案。
最终的答案即为f[n][m]。时间复杂度为O(nm),空间复杂度为O(nm)。
练习-输入n个互不相同的整数并存在数组中,找出最大元素,并删除
题目描述:练习-输入n个互不相同的整数并存于数组中,找出最大元素,然后将其与最后一个元素交换位置,最后输出数组。
解题思路:先从输入中读取n个整数存储到数组中,再定义一个变量maxValue,并初始化为第一个元素。然后遍历整个数组,对于遍历到的每一个元素,如果它比maxValue大,就把maxValue更新为该元素的值,这样就可以得到最大的元素并记录其下标。最后将最大元素和最后一个元素交换位置,并输出整个数组,注意最大元素已经被移动到了最后一个位置,不需要输出。
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