有 n 个互不相同的元素,记作V1,V2,..., Vn ,按下标从小到大的次序到达一个初始状态为空的栈并全部进栈,但只有 m 个元素出栈,这 m 个出栈元素构成的序列有多少种可能?
时间: 2024-06-03 08:08:30 浏览: 102
假设当前栈中的元素为$S$,待入栈的元素为$V_i$,已经出栈的元素为$O$。则有以下两种情况:
1. $V_i$不在出栈序列中。此时$V_i$可以入栈,也可以不入栈。如果选择入栈,则$V_i$加入栈中,$S$变为$S\cup \{V_i\}$,$i$加1。如果选择不入栈,则$S$不变,$i$加1。
2. $V_i$在出栈序列中。此时只能将栈顶元素出栈,即$S$变为$S\setminus \{S_{top}\}$,$O$变为$O\cup \{S_{top}\}$,$i$不变。
因此,问题可以转化为一个递归问题:从初始状态开始,按照上述规则递归处理,直到已经出栈$m$个元素。具体地,设$dp(i,j,k)$表示当前栈中元素为$S_i=\{V_{i+1},...,V_n\}$,已经出栈$j$个元素,出栈元素为$O_k$的方案数。则有以下转移方程:
$$
dp(i,j,k)=\begin{cases}
dp(i+1,j,k)+dp(i+1,j+1,k)& (k<m)\\
dp(i+1,j,k)& (k=m)
\end{cases}
$$
其中,第一种情况对应$V_{i+1}$不在出栈序列中,第二种情况对应$V_{i+1}$在出栈序列中。
最终答案即为$dp(0,0,0)$。时间复杂度$O(nm^2)$,空间复杂度$O(nm^2)$。具体实现时可以使用记忆化搜索或动态规划优化空间复杂度。
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