逻辑回归模型（对数几率回归）

逻辑回归模型（Logistic Regression Model）是一种基于概率统计理论的分类模型，常用于二分类问题。逻辑回归模型的核心是对数几率回归（Logit Regression），通过将线性回归的输出值（连续值）映射到0~1之间的概率值，从而实现对分类问题的建模。

具体而言，假设对于输入$x$，我们希望预测其对应的类别$y\in\{0,1\}$，则逻辑回归模型可以表示为：

$$p(y=1|x) = \frac{1}{1+\exp(-z)},\quad z=\theta_0+\theta_1x_1+\cdots+\theta_px_p$$

其中，$z$表示线性回归的预测值，$\theta$为模型参数，$p(y=1|x)$表示给定$x$时类别$y=1$的概率。由于$y\in\{0,1\}$，因此$p(y=0|x)=1-p(y=1|x)$。

模型参数$\theta$通常通过最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）来求解。具体而言，对于给定的训练集$\{(x^{(i)},y^{(i)})\}_{i=1}^m$，我们希望最大化样本的似然函数：

$$L(\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}|x^{(i)})^{y^{(i)}}[1-p(y^{(i)}|x^{(i)})]^{1-y^{(i)}}$$

对数似然函数为：

$$\ell(\theta)=\sum_{i=1}^m[y^{(i)}\log p(y^{(i)}|x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-p(y^{(i)}|x^{(i)}))]$$

我们的目标是最大化对数似然函数，即最小化对数似然函数的相反数。通常使用梯度下降法等优化算法来求解模型参数。

逻辑回归模型具有以下优点：

- 计算简单，易于理解和实现。
- 可以处理线性可分和线性不可分问题。
- 可以估计概率和提供可解释的结果。

逻辑回归模型也有以下不足之处：

- 对于非线性问题，需要进行特征工程或使用其他非线性分类模型。
- 对异常值比较敏感，需要进行数据预处理。
- 对于多类别分类问题，需要进行多次二分类预测，或使用其他多分类模型。