例题：在区间【0，1】上以h=0.1用欧拉法，预估校正法,经典的四阶龙格库塔法求解微分方程 dy/dx=-y+x+1，初值y（0）=1；其精确解为y=x+exp(-x),且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较。

首先，将微分方程转化为离散形式：

dy/dx ≈ (y[i+1] - y[i])/h

则有：

y[i+1] = y[i] + h*(-y[i] + x[i] + 1)

其中，h=0.1, x[i]=i*h

精确解为 y=x+exp(-x)，代码如下：

import math

def exact_solution(x):
    return x + math.exp(-x)

接下来，分别使用欧拉法、预估校正法和四阶龙格库塔法求解微分方程：

欧拉法代码如下：

def euler_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        y.append(y[i] + h*f(x[i], y[i]))
    return y

预估校正法代码如下：

def predictor_corrector_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        y_predict = y[i] + h*f(x[i], y[i])
        y.append(y[i] + h*(f(x[i], y[i]) + f(x[i+1], y_predict))/2)
    return y

四阶龙格库塔法代码如下：

def runge_kutta_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        k1 = h*f(x[i], y[i])
        k2 = h*f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2)
        k3 = h*f(x[i] + h/2, y[i] + k2/2)
        k4 = h*f(x[i] + h, y[i] + k3)
        y.append(y[i] + 1/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4))
    return y

接下来，分别调用三个求解函数，并将结果与精确解进行比较：

import matplotlib.pyplot as plt

# 定义微分方程
def f(x, y):
    return -y + x + 1

# 定义区间
a = 0
b = 1
h = 0.1
x = [a+i*h for i in range(int((b-a)/h)+1)]

# 求解微分方程
y_exact = [exact_solution(xi) for xi in x]
y_euler = euler_method(f, h, 1, x)
y_predictor_corrector = predictor_corrector_method(f, h, 1, x)
y_runge_kutta = runge_kutta_method(f, h, 1, x)

# 绘制图像
plt.plot(x, y_exact, label='Exact')
plt.plot(x, y_euler, label='Euler')
plt.plot(x, y_predictor_corrector, label='Predictor-Corrector')
plt.plot(x, y_runge_kutta, label='Runge-Kutta')
plt.legend()
plt.show()

运行结果如图所示：


从图中可以看出，四阶龙格库塔法的精度最高，而欧拉法的精度最低。当步长 h 较小时，三种方法的精度都会提高，但是预估校正法和四阶龙格库塔法的效果会更好一些。