把factorial、binomial和partial_sum函数也一并写出

当然，这里我会给出这些函数的简单实现，以便于C++版本的代码完整：

1. **factorial** (阶乘): 这是一个计算给定整数n的阶乘的函数。

long long factorial(int n) {
    return (n == 0 || n == 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
}

2. **binomial** (二项式系数): 这个函数计算组合的二项式系数，即从k个不同元素中取出m个元素的方式数。

long long binomial(int k, int m) {
    if (k < m || m < 0 || k < 0) return 0;
    long long fact_k = factorial(k), fact_m = factorial(m), fact_n_minus_m = factorial(k - m);
    return fact_k / (fact_m * fact_n_minus_m);
}

3. **partial_sum** (部分求和): 这个函数返回数组的一个累加和序列。

vector<pair<int, int>> partial_sum(const vector<int>& arr) {
    vector<pair<int, int>> result(arr.size());
    for (int i = 0; i < arr.size(); ++i) {
        result[i].first = (i == 0) ? arr[0] : arr[i] + result[i - 1].second;
        result[i].second = arr[i];
    }
    return result;
}

现在，上述三个辅助函数已经包含在C++版本的T函数中。