矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值
时间: 2023-05-31 07:01:49 浏览: 1791
矩阵A与其转置矩阵AT的特征值是相同的,但是矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。
设矩阵A的特征值为λ,对应的特征向量为x,则有:
Ax = λx
将两边同时乘以AT得:
ATAx = ATλx
将Ax替换为λx,得:
ATλx = λATx
两边同时除以λ,得:
ATx = (AT/λ)x
由此可知,矩阵AT/λ的特征向量与矩阵A的特征向量相同,但其特征值为1/λ,而不是λ。因此矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。
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求矩阵A的转置×矩阵A的特征值
假设矩阵A的转置为$A^{T}$,特征值为$\lambda$,则:
$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$
证明:
设$Ax=\lambda x$,则$A^{T}Ax=A^{T}\lambda x=\lambda A^{T}x$
因此,$A^{T}Ax$的特征值为$\lambda$。
又因为$A^{T}Ax$是一个实对称矩阵,所以它的特征值都是实数。
设$\mu$是$A^{T}A$的特征值,$y$是对应的特征向量,则有:
$A^{T}Ay=\mu y$
左乘$y^{T}$,得到:
$y^{T}A^{T}Ay=\mu y^{T}y$
因为$A^{T}A$是实对称矩阵,所以$A^{T}A=(A^{T}A)^{T}=A^{T}A$,所以有:
$y^{T}A^{T}Ay=(Ay)^{T}(Ay)=\|Ay\|^{2}$
因此,上式可以写成:
$\|Ay\|^{2}=\mu y^{T}y$
由于$y^{T}y=\|y\|^{2}>0$,所以$\mu=\dfrac{\|Ay\|^{2}}{\|y\|^{2}}\geq 0$。
因此,$A^{T}A$的特征值都是非负实数。
综上所述,$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$。因此,矩阵A的转置×矩阵A的特征值为$A^{T}A\lambda=\lambda^{2}A^{T}A$。
矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值有什么关系吗
### 回答1:
矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值之间存在关系,具体来说,矩阵A的特征值和矩阵A的转置×矩阵A的特征值是相同的,即它们具有相同的特征值。这个结论可以用数学公式来表示:
设矩阵A的特征值为λ,对应的特征向量为x,则有Ax=λx。
矩阵A的转置×矩阵A的特征值为μ,对应的特征向量为y,则有(A^T)Ay=μy。
将Ax=λx两边同时取转置,得到x^T(A^T)=(λx)^T。
将(A^T)Ay=μy两边同时左乘y^T,得到y^T(A^T)Ay=μy^Ty。
由于x和y是特征向量,因此满足x^Ty≠0,可以将上述两个式子相除,得到:
(λx)^T y / y^T y = λ
即λ是矩阵A的转置×矩阵A的特征值μ除以y^Ty得到的结果,也就是说,λ=μ/(y^Ty)。因此,矩阵A的特征值和矩阵A的转置×矩阵A的特征值是相同的。
### 回答2:
矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值之间存在一定的关系。设A为一个n×n的矩阵,
矩阵A的特征值表示为λ,即A的特征值为λ1, λ2, ..., λn。
矩阵A的转置表示为A^T,即将A的行变为列,A^T的特征值表示为μ,即A^T的特征值为μ1, μ2, ..., μn。
根据特征值的定义,对于特征向量x,有Ax = λx,即A乘以特征向量等于特征值乘以特征向量。
对于矩阵A^T,根据转置的性质,有(A^T)x = λx,即A^T乘以特征向量等于特征值乘以特征向量。
将A^T乘以A的特征向量展开,得到(A^T)(Ax) = (A^T)λx,即A乘以A的特征向量等于(A^T乘以特征向量)乘以特征值。
所以,A乘以A的特征值等于A^T乘以A的特征值。
综上所述,矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值之间存在关系,即A的特征值乘以单位矩阵等于A^T乘以A的特征值。
### 回答3:
矩阵A的特征值与矩阵A的转置乘以矩阵A的特征值之间存在一定关系。
首先,我们需要明确特征值的定义。一个n阶方阵A,如果存在一个非零的n维向量v,使得Av=λv,其中λ为一个实数,那么λ就是矩阵A的特征值。
根据定义,我们知道矩阵A的特征值是与A的转置无关的。因此,我们可以得出结论:矩阵A的特征值与矩阵A的转置矩阵并无直接的数学关系。
然而,当涉及到特征向量时,我们可以找到特征值和转置矩阵之间的一些关系。对于矩阵A的特征向量v和对应的特征值λ,我们有以下性质:
(1) 如果v是矩阵A的特征向量,则v也是矩阵A的转置矩阵的特征向量。
证明:假设Av=λv,那么(A^T)v = v^T(Av) = v^T(λv) = λ(v^Tv) = λv^Tv = λv。因此,v是矩阵A的转置矩阵的特征向量。
(2) 如果v是矩阵A的特征向量,则v与矩阵A的转置矩阵的特征向量对应的特征值相同。
证明:假设Av=λv,那么(A^T)(A^Tv) = (A^T)(λv) = λ(A^Tv)。因此,λ是矩阵A^T的特征向量A^Tv对应的特征值。
综上所述,矩阵A的特征值与矩阵A的转置矩阵×矩阵A的特征值之间没有直接的关系,但是它们的特征向量存在一定关系。特征值和特征向量是矩阵分析中重要的概念,它们能够帮助我们理解矩阵的性质和行为。