动态规划解决背包问题的动态规划方程
时间: 2023-08-25 15:06:53 浏览: 53
动态规划解决背包问题的动态规划方程如下:
假设有 $n$ 个物品和一个背包,背包能容纳的重量为 $W$。对于每个物品 $i$,有其重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。定义一个二维数组 $dp[i][j]$,表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包可以获得的最大价值。
则对于每个物品 $i$,有以下两种情况:
- 不放入背包,此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$;
- 放入背包,此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j-w_i] + v_i$,其中 $dp[i-1][j-w_i]$ 表示前 $i-1$ 个物品放入剩余容量为 $j-w_i$ 的背包可以获得的最大价值,加上当前物品的价值 $v_i$ 即为前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包可以获得的最大价值。
因此,动态规划方程如下:
$$
dp[i][j] = \begin{cases}
0, & i = 0 \text{ or } j = 0 \\
dp[i-1][j], & j < w_i \\
\max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i), & j \geq w_i
\end{cases}
$$
其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包可以获得的最大价值,$w_i$ 表示第 $i$ 个物品的重量,$v_i$ 表示第 $i$ 个物品的价值。