计算   2 ( 2 )d d 8 d d 4 ( 4)d d S I x x y z xy z x x x x y          其中 (S) 是曲面 介于 z=0 和 z=4 之间部分的上侧.

首先我们需要确定曲面的参数化方程。由于曲面介于 $z=0$ 和 $z=4$ 之间，我们可以选择使用柱面坐标系来参数化这个曲面。具体来说，我们可以使用参数方程
$$
\begin{cases}
x = r\cos\theta \\
y = r\sin\theta \\
z = z
\end{cases}
$$
其中 $0 \leq r \leq 2,\ 0 \leq \theta \leq 2\pi,\ 0 \leq z \leq 4$。

接下来，我们需要计算曲面元素 $\mathrm{d}\mathbf{S}$。根据柱面坐标系下的曲面元素公式，我们有
$$
\mathrm{d}\mathbf{S} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & 0 \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & 0 \\
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & 0 \\
\end{pmatrix}
\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z
$$

现在我们可以计算积分了。注意到积分的被积函数中，只有最后一项与 $\mathrm{d}\mathbf{S}$ 有关，而且可以直接计算出来，因此我们可以先计算最后一项的积分：
\begin{align*}
& \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} \\
= & \iint_S x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\
= & \int_0^{2\pi}\int_0^2 \int_0^4 r\cos\theta\cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta + \int_0^{2\pi}\int_0^2 \int_0^4 z\cdot r\cos\theta\,\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\
= & \int_0^{2\pi}\int_0^2 \frac{1}{2}r^3\cos\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\int_0^4 \mathrm{d}z + \int_0^{2\pi}\int_0^2 \frac{1}{2}zr^2\cos\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\int_0^4 \mathrm{d}z \\
= & 16\pi
\end{align*}

接下来我们需要计算第一项和第二项的积分。由于这两项的形式相似，我们只计算第一项的积分，第二项的积分可以类似地计算。注意到第一项中有 $x$ 和 $y$，因此我们需要将它们用柱面坐标系下的变量表示出来：
\begin{align*}
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
\end{align*}

于是我们有
\begin{align*}
& \iint_S x\,\mathrm{d}\mathbf{S} \\
= & \iint_S r\cos\theta \cdot \begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \\
= & \int_0^{2\pi}\int_0^2 \int_0^4 r^2\cos^2\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\
= & \frac{16}{3}\pi
\end{align*}

现在我们可以计算第二项的积分了：
\begin{align*}
& \iint_S y\,\mathrm{d}\mathbf{S} \\
= & \iint_S r\sin\theta \cdot \begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \\
= & \int_0^{2\pi}\int_0^2 \int_0^4 0\,\mathrm{d}r\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\
= & 0
\end{align*}

综上所述，我们有
$$
\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{16}{3}\pi
$$