matlab 秩亏水准自由网平差

### MATLAB 实现秩亏自由网平差

在处理测量数据时，秩亏自由网平差是一种重要的技术，用于解决观测方程数少于未知参数的情况。这种方法通过引入伪观测值来增加系统的稳定性并求解最优估计。

#### 秩亏自由网平差原理

当线性化后的误差方程存在不足秩情况时，即设计矩阵 \( A \) 的列向量之间存在线性相关关系，则该系统被称为“秩亏”。为了克服这一问题，在构建法方程之前先对原始观测值附加一些合理的约束条件形成所谓的“伪观测”。

这些伪观测量可以是已知点坐标的精确位置或者是某些特定方向上的零位移假设等。这样做不仅能够使原本不可逆的设计阵变得可逆从而得到唯一解；而且还可以提高计算精度以及抗差能力[^1]。

#### MATLAB 示例代码

下面给出一段简单的MATLAB代码片段用来展示如何实现上述提到的方法：

function [X,V,Qxx,sigma0]=rank_deficient_adjustment(A,L,P)
% 输入参数说明：
% A - 设计矩阵 (m×n)，其中 m 表示观测数量 n 是待估参数数目；
% L - 观测向量(m维列向量);
% P - 权重矩阵(对角线上为各个观测对应的权)

    % 计算初始正规方程式 AT*P*A*X=AT*PL
    N=A'*P*A;
    
    % 判断N是否满秩
    [~,s,~]=svd(N); 
    tol=max(size(N))*max(s)*eps;  
    r=sum(s>tol);

    if rank(N)<length(L)-r
        disp('警告：当前模型可能存在严重的病态现象');
    end
    
    % 添加单位权的伪观测以补充缺失的信息
    delta=[zeros(length(L),1);eye(r)];  % 构造增广部分
    Ap=[A,zeros(size(A,1),r)];
    Lp=[L;delta];
    Pp=blkdiag(P,ones(r));

    % 新建扩充后的正则方程组
    N_new=(Ap')*Pp*(Ap);
    l_new=(Ap')*Pp*Lp;

    % 使用QR分解求解最小二乘问题
    Q,R = qr(N_new,'vector'); 
    X=R\(Q'\l_new);

    V=L-A*X(1:length(L));          % 求残差V
    sigma0=sqrt((V'*P*V)/r);       % 单位权中误差sigma_0
    Qxx=inv(R'*R)(1:r,1:r);         % 参数协因数阵Qxx
   
end

此函数接收三个输入变量——`A`, `L` 和 `P` 分别代表设计矩阵、观测向量及其相应的权重矩阵，并返回四个输出结果：调整后的参数估值 `X` ，改正数 `V` , 协因数矩阵 `Qxx` 及单位权标准偏差 `sigma0`.