python构建乘法循环群

在Python中，我们可以创建一个乘法循环群（Multiplicative Cyclic Group），它是一种数学结构，其中元素通过乘法运算形成一个封闭、单位元存在并且每个非零元素都有逆元的集合。这个群通常用模n的形式表示，比如`Z_n`，其中n是一个正整数。

下面是一个简单的例子，我们将创建一个阶为n的乘法循环群，并展示如何进行基本操作：

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def invert_modulo(a, n):
    if gcd(a, n) == 1:
        return pow(a, n - 2, n)
    else:
        raise ValueError("Element does not have an inverse modulo n.")

# 定义一个阶为n的乘法循环群
class MultiplicativeCycleGroup:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.group_elements = [i for i in range(1, n + 1)]

    def multiply(self, x, y):
        return (x * y) % self.n

    def get_inverses(self, x):
        return [invert_modulo(x, self.n),] if gcd(x, self.n) == 1 else []

# 使用示例
group = MultiplicativeCycleGroup(7)
print(f"Group elements: {group.group_elements}")
print("Multiplication examples:")
for x, y in [(1, 2), (2, 3), (4, 5)]:
    print(f"{x} * {y} = {group.multiply(x, y)}")
print("\nInverses of some elements:")
for x in [1, 3]:
    inverses = group.get_inverses(x)
    if inverses:
        print(f"Inverse of {x}: {inverses[0]}")

在这个例子中，我们首先计算了模n下的最大公约数，然后找到每个元素的逆元。`multiply`方法实现了两个元素的乘法，`get_inverses`方法则返回给定元素的逆元，如果存在的话。