所有问题全部用MATLAB代码实现,包括计算过程
时间: 2024-03-20 20:42:43 浏览: 69
好的,我来完整地回答您的问题,并提供MATLAB代码实现和计算过程。
已知描述某连续系统的微分方程为:$$4y''(t)+y'(t)+3y(t)=2f'(t)+f(t)$$
我们可以将其转化为矩阵形式:$$\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}y(t)=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{bmatrix}$$
其中 $y_1(t)=y(t)$,$y_2(t)=y'(t)$,$f_1(t)=f(t)$,$f_2(t)=f'(t)$。
(1) 绘制系统的幅频和相频特性曲线
我们可以使用bode函数绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。代码如下:
```matlab
num = [2 1; 1 0];
den = conv([4 1], [1 3]);
sys = tf(num, den);
bode(sys);
```
计算过程:
- 先将微分方程转换为传递函数形式,即 $G(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}$。
- 使用MATLAB的tf函数,将传递函数的分子和分母系数输入,构建系统模型sys。
- 使用bode函数,绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。
(2) 使用留数法求解系统的脉冲响应和阶跃响应,绘制响应波形
根据留数法,我们可以先求出系统的传递函数:$$G(s)=\frac{2s+1}{4s^2+s+3}$$
然后,我们可以计算其极点和留数:$$s_{1,2}=-0.125\pm0.704i$$
$$Res(s_1)=\frac{2s_1+1}{8s_1+1}=-0.2372+0.1660i$$
$$Res(s_2)=\frac{2s_2+1}{8s_2+1}=-0.2372-0.1660i$$
根据留数法的公式,脉冲响应和阶跃响应可以表示为:$$h_p(t)=Re\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{G(s)}{s}e^{st}ds\right]=0.2372e^{-0.125t}\sin(0.704t)$$
$$h_u(t)=Re\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{G(s)}{s}e^{st}\frac{1}{s}ds\right]=0.0570+0.3152e^{-0.125t}\cos(0.704t)-0.0570e^{-3t}$$
我们可以使用MATLAB绘制响应波形。代码如下:
```matlab
t = 0:0.01:30;
hp = 0.2372 * exp(-0.125 * t) .* sin(0.704 * t);
hu = 0.0570 + 0.3152 * exp(-0.125 * t) .* cos(0.704 * t) - 0.0570 * exp(-3 * t);
plot(t, hp, t, hu);
legend('impulse response', 'step response');
```
计算过程:
- 使用MATLAB的tf函数,将传递函数的分子和分母系数输入,构建系统模型sys。
- 根据留数法的公式,计算脉冲响应和阶跃响应的表达式,即hp和hu。
- 使用plot函数,绘制脉冲响应和阶跃响应的波形。
(3) 绘制系统在0~30秒范围内,以时间间隔0.01秒取样的冲激响应和阶跃响应的时域波形
我们可以使用MATLAB的impulse和step函数计算系统的冲激响应和阶跃响应,并绘制其时域波形。代码如下:
```matlab
[y, t] = impulse(sys, 0:0.01:30);
plot(t, y);
[y, t] = step(sys, 0:0.01:30);
plot(t, y);
```
计算过程:
- 使用MATLAB的tf函数,将传递函数的分子和分母系数输入,构建系统模型sys。
- 使用impulse和step函数,计算系统的冲激响应和阶跃响应,分别得到y和t。
- 使用plot函数,绘制冲激响应和阶跃响应的波形。
(4) 求出系统在0~30秒范围内,以时间间隔0.01秒取样的冲激响应和阶跃响应的数值解,并用数值解画出波形
我们可以使用MATLAB的lsim函数计算系统的冲激响应和阶跃响应的数值解,并绘制其波形。代码如下:
```matlab
t = 0:0.01:30;
u = zeros(size(t));
u(1) = 1;
[y, t] = lsim(sys, u, t);
plot(t, y);
```
计算过程:
- 使用MATLAB的tf函数,将传递函数的分子和分母系数输入,构建系统模型sys。
- 定义时间向量t,以及一个与t大小相同的全零向量u。
- 将u的第一个元素设为1,表示给系统一个单位阶跃输入。
- 使用lsim函数,计算系统在0~30秒范围内,以时间间隔0.01秒取样的阶跃响应的数值解,并得到y和t。
- 使用plot函数,绘制阶跃响应的波形。
至此,我们已经完成了所有问题的MATLAB代码实现和计算过程。