1、已知如下函数表 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.34066 编程实现用Lagrange插值法和Newton插值法计算 和 的近似值，并利用plot函数作出插值函数图.

在Python中，我们可以使用numpy库来进行数值计算，matplotlib库用于绘制图形。这里我会展示如何使用Lagrange插值法和牛顿插值法（也称为差分法）来近似两个给定数据集的平均值，并生成插值函数图。

首先，安装所需的库（如果还没有安装）：

pip install numpy matplotlib

然后，以下是使用这两个方法的代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 数据点
x = np.array([1.615, 2.4145, 1.702, 2.4645, 1.921])
y = np.array([1.634, 2.46459, 2.65271, 3.03035, 3.34066])

# 平均值计算 - 使用Lagrange插值法
def lagrange_interpolation(x_values, y_values, x_point):
    interpolation = sum(y_values * (x_point - x[i]) / (x[i] - x[0]) for i in range(len(x_values)))
    return interpolation

mean_lagrange = lagrange_interpolation(x, y, 2)  # 使用2作为插值点
print(f"Mean using Lagrange method: {mean_lagrange:.4f}")

# 牛顿插值法
def newton_interpolation(x_values, y_values, h=1e-8):  # 使用差分法逼近导数
    dy_dx = [(y_values[i+1] - y_values[i]) / (x_values[i+1] - x_values[i]) for i in range(len(x_values)-1)]
    mean_newton = y_values[0] + np.sum(dy_dx[:-1] * (x_point - x_values[:-1])) / x_values[-1]
    return mean_newton

mean_newton = newton_interpolation(x, y, 2)
print(f"Mean using Newton method: {mean_newton:.4f}")

# 绘制插值函数图
x_grid = np.linspace(min(x), max(x), 1000)
lagrange_func = [lagrange_interpolation(x, y, xi) for xi in x_grid]
newton_func = [newton_interpolation(x, y, xi) for xi in x_grid]

plt.plot(x, y, 'o', label='Data Points')
plt.plot(x_grid, lagrange_func, label='Lagrange Interpolation')
plt.plot(x_grid, newton_func, label='Newton Interpolation')
plt.axhline(mean_lagrange, color='r', linestyle='--', label=f'Lagrange Mean ({mean_lagrange:.4f})')
plt.axhline(mean_newton, color='g', linestyle='--', label=f'Newton Mean ({mean_newton:.4f})')
plt.legend()
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Interpolated Functions and Average Values')
plt.show()

这段代码首先定义了Lagrange插值函数和牛顿插值函数，然后计算并打印出两点处的平均值。最后，它创建了一个线性网格（x_grid）用于绘制插值曲线，并显示了插值函数以及计算得到的平均值。