基于LMMSE的半盲信道估计的公式推导

半盲信道估计是指在已知发送信号的前提下，通过接收信号估计信道参数，其中半盲指的是已知部分信息，未知部分需要估计。LMMSE是一种最小均方误差估计方法，可以用于半盲信道估计。

在半盲信道估计中，我们已知发送信号 $x(t)$，接收信号 $y(t)$，和部分信道信息 $h_0$，需要估计未知的信道参数 $h$。假设 $x(t)$ 和 $h$ 是平稳随机过程，$n(t)$ 是加性白噪声，且 $x(t)$ 和 $n(t)$ 是互相独立的高斯白噪声。

我们可以将接收信号表示为：

$$ y(t) = x(t) * h + n(t) $$

其中 $*$ 表示卷积运算。对于一个时刻 $t$，我们可以将接收信号表示为向量形式：

$$ \boldsymbol{y}(t) = \boldsymbol{x} * \boldsymbol{h} + \boldsymbol{n}(t) $$

其中 $\boldsymbol{y}(t)$、$\boldsymbol{x}$、$\boldsymbol{h}$、$\boldsymbol{n}(t)$ 都是列向量。

由于 $x(t)$ 和 $n(t)$ 是高斯白噪声，因此 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{n}(t)$ 也是高斯分布的。我们可以计算 $\boldsymbol{y}(t)$、$\boldsymbol{x}$、$\boldsymbol{h}$ 之间的协方差矩阵：

$$ \boldsymbol{R}_{yx}(t) = E[\boldsymbol{y}(t)\boldsymbol{x}^T] = \boldsymbol{h}E[\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T] = \sigma_x^2 \boldsymbol{h} $$

$$ \boldsymbol{R}_{yy}(t) = E[\boldsymbol{y}(t)\boldsymbol{y}^T(t)] = \sigma_x^2 \boldsymbol{h} \boldsymbol{h}^T + \sigma_n^2 \boldsymbol{I} $$

其中 $\sigma_x^2$ 和 $\sigma_n^2$ 分别是 $x(t)$ 和 $n(t)$ 的方差，$\boldsymbol{I}$ 是单位矩阵。我们可以将 $\boldsymbol{h}$ 表示为 $\boldsymbol{h} = [h_0, \boldsymbol{h}_1^T]^T$，其中 $h_0$ 已知，$\boldsymbol{h}_1$ 是未知参数向量。

我们可以将 $\boldsymbol{R}_{yy}(t)$ 表示为：

$$ \boldsymbol{R}_{yy}(t) = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 |h_0|^2 + \sigma_n^2 & \boldsymbol{R}_{yx}(t)^T \\ \boldsymbol{R}_{yx}(t) & \sigma_x^2 \boldsymbol{R}_{xx} \end{bmatrix} $$

其中 $\boldsymbol{R}_{xx} = E[\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T]$ 是 $x(t)$ 的自相关矩阵。

根据 LMMSE 方法，我们可以估计 $\boldsymbol{h}_1$ 的最小均方误差解：

$$ \hat{\boldsymbol{h}}_1 = \boldsymbol{R}_{hh} \boldsymbol{R}_{yx}(t) \boldsymbol{R}_{xx}^{-1} \boldsymbol{y}(t) $$

其中 $\boldsymbol{R}_{hh} = E[\boldsymbol{h}_1 \boldsymbol{h}_1^T]$ 是 $\boldsymbol{h}_1$ 的自相关矩阵。根据 $\boldsymbol{h} = [h_0, \boldsymbol{h}_1^T]^T$，我们可以得到最终的估计值：

$$ \hat{\boldsymbol{h}} = [h_0, \hat{\boldsymbol{h}}_1^T]^T $$

这就是基于 LMMSE 的半盲信道估计的公式推导。