如何用一组已知的时间序列数据通过最大似然估计求解维纳过程的参数,用matlab实现
时间: 2023-06-17 17:06:28 浏览: 80
维纳过程是一种连续时间随机过程,它可以用随机微分方程来描述。在实际应用中,我们经常需要用一组已知的时间序列数据来估计维纳过程的参数。下面给出一种基于最大似然估计的方法,用MATLAB实现。
假设我们有一个由维纳过程生成的时间序列 $\{X_t\}$,其随机微分方程为:
$$dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sigma(X_t,t)dW_t$$
其中,$dW_t$ 是一个标准布朗运动,$\mu(X_t,t)$ 和 $\sigma(X_t,t)$ 是未知的函数,我们需要通过观测到的时间序列数据 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 来估计这些函数的参数。
为了进行最大似然估计,我们需要先写出似然函数。假设 $X_t$ 在 $[t_i,t_{i+1}]$ 区间内的概率密度函数为 $f_i(x)$,则整个时间序列的概率密度函数为:
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^{n-1}f_i(x_i)$$
其中,$f_i(x_i)$ 可以用伊藤引理将 $X_{t_{i+1}}$ 表示成 $X_{t_i}$ 的函数:
$$X_{t_{i+1}} = X_{t_i} + \int_{t_i}^{t_{i+1}}\mu(X_t,t)dt + \int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma(X_t,t)dW_t$$
由于 $dW_t$ 是标准布朗运动,所以 $\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma(X_t,t)dW_t$ 服从均值为 $0$,方差为 $\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma^2(X_t,t)dt$ 的正态分布。因此,$f_i(x_i)$ 可以写成:
$$f_i(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma^2(X_t,t)dt}}\exp\left(-\frac{(x_{i+1}-x_i-\int_{t_i}^{t_{i+1}}\mu(X_t,t)dt)^2}{2\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma^2(X_t,t)dt}\right)$$
将 $f_i(x_i)$ 代入到似然函数中,我们得到:
$$L(\theta|x_1,x_2,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma^2(X_t,t)dt}}\exp\left(-\frac{(x_{i+1}-x_i-\int_{t_i}^{t_{i+1}}\mu(X_t,t)dt)^2}{2\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sigma^2(X_t,t)dt}\right)$$
其中,$\theta$ 表示 $\mu(X_t,t)$ 和 $\sigma(X_t,t)$ 的参数。
我们的目标是最大化似然函数 $L(\theta|x_1,x_2,\cdots,x_n)$,这等价于最小化对数似然函数 $-\ln L(\theta|x_1,x_2,\cdots,x_n)$。因此,我们可以用 MATLAB 的优化工具箱中的 fminunc 函数来求解最小化对数似然函数的问题。
具体实现步骤如下:
1. 定义维纳过程的随机微分方程,包括 $\mu(X_t,t)$ 和 $\sigma(X_t,t)$。
2. 定义似然函数 $L(\theta|x_1,x_2,\cdots,x_n)$,并将其转化为对数似然函数的形式。
3. 使用 fminunc 函数来最小化对数似然函数,得到最优的参数估计。
下面是一个简单的 MATLAB 实现示例:
```matlab
% 生成维纳过程的时间序列数据
T = 1; % 时间终点
N = 1000; % 时间步数
dt = T/N; % 时间步长
t = linspace(0, T, N+1);
dW = sqrt(dt)*randn(1, N);
X = zeros(1, N+1);
for i = 1:N
X(i+1) = X(i) + 0.5*X(i)*dt + 2*sin(2*pi*t(i))*dW(i);
end
% 定义随机微分方程
mu = @(x,t) 0.5*x;
sigma = @(x,t) 1;
% 定义似然函数
L = @(theta) Likelihood(X, mu, sigma, dt);
% 定义对数似然函数
logL = @(theta) -log(L(theta));
% 使用 fminunc 求解最优参数
theta0 = [0.1, 0.1]; % 初始参数估计
options = optimset('Display', 'iter', 'TolX', 1e-6, 'MaxIter', 1000);
[theta, fval, exitflag] = fminunc(logL, theta0, options);
% 输出最优参数估计结果
fprintf('mu = %f\n', theta(1));
fprintf('sigma = %f\n', theta(2));
% 定义似然函数
function L = Likelihood(X, mu, sigma, dt)
N = length(X) - 1;
L = 1;
for i = 1:N
dti = dt;
sigmati = sigma(X(i), (i-1)*dt);
intsigma = sqrt(dti)*sigmati;
intmu = mu(X(i), (i-1)*dt)*dt;
dX = X(i+1) - X(i);
L = L*exp(-(dX - intmu)^2/(2*intsigma^2))/sqrt(2*pi*intsigma^2);
end
end
```
在这个示例中,我们生成了一个维纳过程的时间序列数据,然后使用最大似然估计方法来求解 $\mu(X_t,t)$ 和 $\sigma(X_t,t)$ 的参数。我们定义了随机微分方程、似然函数和对数似然函数,并使用 fminunc 函数来求解最优参数估计。最后输出了最优的参数估计结果。
需要注意的是,由于维纳过程是一种连续时间随机过程,所以在实际应用中我们往往需要对时间序列数据进行插值,以便在离散时间点上进行估计。这个问题可以通过 MATLAB 中的 interp1 函数来解决。