幻方问题n阶幻方是把从一到n的平方的整数，填入一个n阶方阵，每个整数只出现一次，使得每一行，每一列，每一条主对角线上各数之和都相等，证明如果n阶幻方存在的话，所讨论的这个和一定等于n(n^2+1)/2，并设计一个穷举算法生成阶数为n的所有幻方给出伪代码

### 回答1：
证明：

首先，设幻方中每个数的和为S，则每行、每列、每个对角线的和都为S。

因为幻方中一共有n行，每行的和为S，所以总和为nS。

同理，因为幻方中一共有n列，每列的和为S，所以总和为nS。

因为幻方中一共有两条主对角线，每条主对角线的和为S，所以总和为2S。

所以，总和为nS+2S=（n+2）S。

因为幻方中一共有n个数，所以总和也可以用所有数的和来表示，即为1+2+...+n^2=n(n^2+1)/2。

所以，我们得到以下等式：

n(n^2+1)/2 = (n+2)S

解得 S = n(n^2+1)/2(n+2)

因为S为整数，所以n+2必须是n(n^2+1)/2的因子。

而n(n^2+1)/2可以化为(n+1)×n/2×(n-1)+n/2，所以n(n^2+1)/2可以被2和n+1整除。

因此，当n为奇数或n+1为3的倍数时，n+2是n(n^2+1)/2的因子，所以n阶幻方存在时，所讨论的和一定等于n(n^2+1)/2。

穷举算法生成阶数为n的所有幻方伪代码：

1. 初始化一个n*n的二维数组
2. 从1开始依次填入数组中
3. 每填入一个数，检查当前行、列、对角线是否满足条件，如果满足，则继续填下一个数，否则回溯到上一个数，重新填数
4. 当数组中所有位置都填满时，检查整个数组是否为幻方，如果是，则输出结果，否则继续回溯

### 回答2：
首先要证明如果n阶幻方存在的话，所讨论的和一定等于n(n^2+1)/2。

我们知道一个n阶方阵的每一行、每一列和每条主对角线上的和都等于n(n^2+1)/2，那么假设这个和为S。

每一行的和为S，假设第一行的和为S1，第二行的和为S2，依此类推，第n行的和为Sn。则有：

S1 + S2 + … + Sn = S (1)

每一列的和为S，假设第一列的和为C1，第二列的和为C2，依此类推，第n列的和为Cn。则有：

C1 + C2 + … + Cn = S (2)

主对角线的和为S，假设主对角线上的数字为D，D1表示第一行第一列的数字，D2表示第二行第二列的数字，依此类推，Dn表示第n行第n列的数字。则有：

D1 + D2 + … + Dn = D (3)

由于主对角线上的数字和为S，而每行的和也等于S，则有：

D1 + D2 + … + Dn = S (4)

将方程(4)和方程(3)相等，可得：

D = S

将方程(1)和方程(2)相等，可得：

S1 + S2 + … + Sn = C1 + C2 + … + Cn = S

所以S1 + S2 + … + Sn = C1 + C2 + … + Cn = D

因此，如果n阶幻方存在的话，所讨论的和一定等于n(n^2+1)/2。

以下是一个穷举算法生成阶数为n的所有幻方的伪代码：

procedure generateMagicSquare(n)
arr[n][n]
x ← n / 2
y ← 0

for num from 1 to n^2
arr[x][y] ← num
x ← (x + 1) mod n
y ← (y - 1 + n) mod n
if arr[x][y] ≠ 0
x ← (x - 1 + n) mod n
y ← (y + 2) mod n

return arr

通过该算法，可以生成阶数为n的所有幻方。

### 回答3：
证明如果n阶幻方存在的话，所讨论的这个和一定等于n(n^2 1)/2的方法如下：

首先，我们可以知道每一行、每一列和每一条主对角线的和一定是相等的。设这个和为S。
在一个n阶幻方中，总共有n行，则每一行的和都是S。
我们可以用数学归纳法证明每一行的和为S。

对于n=1的情况，方阵只有一个数，显然成立。

假设n=k时成立，即k阶幻方中每一行的和为S。
那么对于n=k+1的情况，我们可以将方阵分成两个部分：一个是k阶方阵的左上角部分，另一个是一个含有k+1个数的竖列。
根据归纳假设，k阶方阵中每一行的和为S，那么这个竖列的和也一定是S。
所以整个n=k+1阶方阵每一行的和也是S。
因此，我们可以得知n阶幻方中每一行的和都等于S。

同理，我们可以证明每一列、每一条主对角线的和也都等于S。
所以n阶幻方存在的话，所讨论的这个和一定等于n(n^2 1)/2。

以下是一个穷举算法生成阶数为n的所有幻方的伪代码：

1. 初始化一个n阶方阵A，并将所有元素赋值为0。
2. 从1开始到n^2，依次将这些整数填入方阵A中，填入时需满足以下条件：
a. 当前位置A[i][j]为空（即为0）。
b. A[i][j]之前的行、列以及主对角线中没有出现该整数。
3. 递归地填入下一个整数，直到填满方阵A。若方阵A中的所有位置都已填满，则视为生成一个幻方，输出方阵A。
4. 回溯上一步的填入，继续尝试其他可填入的整数。
5. 重复步骤3和步骤4，直到找到所有的幻方。

以上是一个基本的穷举算法，可以生成阶数为n的所有幻方。请注意，当n较大时，可能会有大量的计算和遍历，可能会导致算法运行时间较长。