逻辑斯谛回归（logistic regression）—《统计学习方法》

### 回答1：
逻辑斯谛回归（logistic regression）是一种用于分类问题的统计学习方法，属于监督学习中的一种。它的基本思想是通过建立模型去学习不同特征之间的关系，然后使用这个模型去对未知数据进行分类。逻辑斯谛回归是一种线性模型，可用于进行二分类或多分类问题。在统计学习方面，逻辑斯谛回归是一种经典的机器学习方法。

### 回答2：
逻辑斯谛回归是一种用于二分类问题的机器学习算法。其基本思想是将输入变量与一个sigmoid函数相乘，从而得到该分类的概率值。这个sigmoid函数将实数映射到[0,1]区间内，当概率趋近于0时，函数取到0，概率趋近于1时，函数取到1，当输入为0时，函数取到0.5。这个函数的形式为：

$$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{e^z}{1+e^z}$$

其中z为线性回归模型的输出。逻辑斯谛回归通过最大似然估计来确定模型参数，目标是最大化似然函数。似然函数的形式为：

$$L(w)=\prod_{i=1}^N[y_iP(y_i=1|x_i,w)+(1-y_i)P(y_i=0|x_i,w)]$$

其中N为样本数，$y_i\in\{0,1\}$为样本i的类别，$y_i=1$表示正例，$y_i=0$表示反例。$P(y_i=1|x_i,w)$和$P(y_i=0|x_i,w)$分别表示当输入变量为$x_i$时，样本i的正例概率和反例概率。使用log函数对似然函数取负对数，然后对参数w求偏导，得到的结果为：

$$\nabla L(w)=\sum_{i=1}^N[y_i-\sigma(w^Tx_i)]x_i$$

使用梯度下降法来更新参数，得到迭代更新公式为：

$$w^{(t+1)}=w^{(t)}+\eta\nabla L(w^{(t)})$$

其中$\eta$为学习率，$w^{(t)}$表示t时刻的参数值。

逻辑斯谛回归可以扩展到多分类问题，称为softmax回归，也可以应用于不同的领域，例如医学诊断、金融风险评估等。

### 回答3：
逻辑斯谛回归（Logistic Regression）是一种用于处理二分类问题的统计机器学习算法，其思想来源于逻辑学。在《统计学习方法》一书中，逻辑斯谛回归是目标函数为对数似然函数，利用梯度下降法或牛顿法估计参数的一类判别模型。

逻辑斯谛回归的模型可以表示为$$h_{\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{x})=\sigma(\boldsymbol{w}^{\rm T} \boldsymbol{x})$$其中，$h_{\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{x})\in [0,1]$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 属于正类的概率，$\sigma(z)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-z}}$ 是 sigmoid 函数。逻辑斯谛回归的目标函数是对数似然函数$$L(\boldsymbol{w})=\sum_{i=1}^{N}[y_i \log h_{\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{x_i})+(1-y_i)\log(1-h_{\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{x_i}))]$$其中，$N$ 是样本数量，$y_i\in\{0,1\}$ 是样本 $\boldsymbol{x_i}$ 的真实标记。对数似然函数一般通过梯度下降法或牛顿法来求得最优参数 $\boldsymbol{w}$。梯度下降法的更新公式是$$\boldsymbol{w} \leftarrow \boldsymbol{w}+\alpha \sum_{i=1}^{N}(y_i-h_{\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{x_i}))\boldsymbol{x_i}$$其中，$\alpha$ 是学习率，$\boldsymbol{w}$ 初始化为 0 或其它随机值，重复进行上述更新直到收敛。牛顿法是一种二阶优化方法，其参数更新公式是$$\boldsymbol{w} \leftarrow \boldsymbol{w}-\boldsymbol{H}^{-1}\nabla_{\boldsymbol{w}}L(\boldsymbol{w})$$其中，$\boldsymbol{H}$ 是 Hessian 矩阵。牛顿法比梯度下降法收敛速度更快，但计算量更大。

逻辑斯谛回归的优点是模型参数较少，计算速度较快，且可以得到样本属于正类的概率。缺点是对异常值比较敏感，对特征之间的相关性比较敏感，容易出现过拟合。在实际应用中，可以通过添加正则化项或使用 L1、L2 正则化等方式来避免过拟合。

总之，逻辑斯谛回归是一种用于处理二分类问题的有效算法，可以应用于回归和分类问题。它的思想简单，实现容易，是初学者入门的理想算法之一。