给定一个二次型,是否总是可以找到一个正交矩阵,将其化为标准型?如何做?
时间: 2024-03-18 20:44:50 浏览: 20
对于一个实二次型,总是可以找到一个正交矩阵将其化为标准型。这个正交矩阵就是二次型的正交矩阵。
具体的做法如下:
1. 对于一个实二次型f(x),首先构造它的矩阵A。
2. 对矩阵A进行特征值分解,得到特征值λ1,λ2,...,λn和特征向量v1,v2,...,vn。注意这里的特征向量是列向量。
3. 将特征向量组成一个矩阵P=[v1,v2,...,vn],那么P就是一个正交矩阵,因为它的列向量是互相正交的单位向量。
4. 将P的逆矩阵P^-1乘以矩阵A再乘以P,得到的矩阵B就是二次型f(x)的标准型矩阵。
5. 通过B的对角线上的元素来确定二次型的标准型。
需要注意的是,如果矩阵A的特征值不全为正,那么对应的特征向量需要进行适当的变号,使得得到的正交矩阵P的行列式为1。这是因为正交矩阵的行列式只可能是1或-1。
总之,通过特征值分解和正交矩阵的构造,我们可以将任意实二次型化为标准型。
相关问题
编写一个C程序,将矩阵二次型化为最简型
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, i, j, k, temp;
float a[10][10];
printf("Enter the dimension of matrix: ");
scanf("%d", &n);
printf("Enter the matrix elements:\n");
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
scanf("%f", &a[i][j]);
// Gaussian elimination
for(k=0; k<n; k++)
{
if(a[k][k] == 0.0)
{
printf("Pivot element is 0. Calculation terminated.\n");
return 0;
}
for(i=k+1; i<n; i++)
{
temp = a[i][k] / a[k][k];
for(j=k; j<n; j++)
a[i][j] = a[i][j] - temp * a[k][j];
}
}
// Print the diagonal matrix
printf("\nDiagonal matrix:\n");
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
{
if(i == j)
printf("%f ", a[i][j]);
else
printf("0.000000 ");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
给我一个二次型变为标准型的习题
好的,以下是一个将二次型变为标准型的习题:
将二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 - 4x_1x_2 + 5x_2^2 - 2x_2x_3 + 3x_3^2$ 转化为标准型。
解答:
首先,将二次型表示为矩阵的形式:
$$
f(x_1,x_2,x_3) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
$$
然后,对矩阵进行对称化,得到:
$$
A = \frac{1}{2}(A + A^T) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}
$$
接下来,求出系数矩阵 $A$ 的特征值和特征向量:
$$
\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 & 0 \\ -1 & 5 - \lambda & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0
$$
解得特征值为 $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 0.5$,对应的特征向量分别为:
$$
\boldsymbol{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}
$$
将特征向量单位化,得到:
$$
\boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}
$$
令 $y_1 = \boldsymbol{u}_1^T\boldsymbol{x}, y_2 = \boldsymbol{u}_2^T\boldsymbol{x}, y_3 = \boldsymbol{u}_3^T\boldsymbol{x}$,得到:
$$
\begin{aligned}
f(x_1,x_2,x_3) &= 2x_1^2 - 4x_1x_2 + 5x_2^2 - 2x_2x_3 + 3x_3^2 \\
&= 5y_1^2 + 3y_2^2 + 0.5y_3^2
\end{aligned}
$$
因此,原二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 转化为标准型 $g(y_1,y_2,y_3) = 5y_1^2 + 3y_2^2 + 0.5y_3^2$。