7-1 dijkstra算法（模板）

Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。它的基本思想是从起点开始，每次选择当前最短路径的节点进行扩展，直到扩展到终点为止。在扩展节点的过程中，需要记录每个节点的最短路径和路径长度，以便在后续的扩展中进行比较和更新。Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，但是可以通过使用堆优化来将时间复杂度降为O(mlogn)。

相关问题

7-1 Dijkstra算法（模板

Dijkstra算法是一种用于解决带权图的单源最短路径问题的贪心算法。它维护一个距离起点的最短路径已知的顶点集合，通过不断地扩展这个集合，最终得到从起点到所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法的基本思想是，维护一个集合S，表示已经求出最短路径的顶点集合。一开始，S只包含起点。然后，每次从集合V-S中选取一个距离起点最近的顶点u，将其加入集合S中，并更新与u相邻的所有顶点的最短路径。

具体实现上，我们可以使用一个数组dis[]来存储每个顶点到起点的最短路径长度，数组vis[]表示该顶点是否已经被加入到集合S中。每次选取距离起点最近的顶点u后，我们遍历u的所有邻居v，并更新dis[v]的值，如果dis[v]发生了改变，我们就将v加入到一个优先队列中，等待下一次选择。

以下是Dijkstra算法的伪代码实现：

int n; // 顶点数
int dis[N]; // 存储起点到每个顶点的最短距离
bool vis[N]; // 标记每个顶点是否已经加入集合S中
vector<pair<int, int>> adj[N]; // 存储每个顶点的邻居

void dijkstra(int s) { // s为起点编号
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 将dis数组初始化为无穷大
    dis[s] = 0; // 起点到自身的距离为0
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push({0, s}); // 将起点加入队列中
    while (!q.empty()) {
        auto t = q.top(); q.pop();
        int u = t.second;
        if (vis[u]) continue; // 如果该点已经在集合S中，直接跳过
        vis[u] = true; // 将u加入集合S中
        for (auto [v, w] : adj[u]) { // 遍历u的所有邻居
            if (dis[v] > dis[u] + w) { // 如果从u到v的距离更短
                dis[v] = dis[u] + w; // 更新dis数组
                q.push({dis[v], v}); // 将v加入队列中
            }
        }
    }
}

其中，priority_queue是一个优先队列，用于存储待选顶点。我们使用了STL中的pair来表示顶点与其到起点的距离。优先队列默认按照pair的第一个元素排序，因此我们需要自定义一个比较函数，将pair按照第二个元素（距离）排序。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。在实际应用中，Dijkstra算法的效率很高，能够处理大规模的图。

7-3 dijkstra算法(模板) (30分)

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的贪心算法。该算法的基本思想是从起始节点开始，通过不断扩展当前已找到的最短路径来逐步确定最短路径的结果。

具体的实现步骤如下：
1. 初始化：设置起始节点为当前节点，将起始节点到自身的距离为0，将起始节点到其他节点的距离设为无穷大。
2. 判断是否遍历了所有节点：如果还有未处理的节点，则继续执行下述步骤。否则，算法结束。
3. 遍历邻接节点：对于当前节点的所有邻接节点，计算经过当前节点到达该邻接节点的距离。如果该距离小于已确定的最短距离，则更新最短距离。
4. 选择下一个节点：从未处理的节点中选取距离起始节点最近的节点作为下一个节点。
5. 将选择的节点标记为处理完成。
6. 跳转至步骤2。

通过以上步骤，Dijkstra算法可以得到从起始节点到图中所有其他节点的最短路径。在实际应用中，可以使用优先队列来高效地实现步骤4的节点选择操作。

然而，需要注意的是，Dijkstra算法对于存在负权边的图无法正确处理，因为它会假设经过已处理的节点的路径是最短路径。如果图中存在负权边，可以使用Bellman-Ford算法来解决。此外，Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示节点的个数。若要减少时间复杂度，可以使用堆优化的Dijkstra算法，其时间复杂度为O((V+E)logV)，其中E表示边的个数。

总之，Dijkstra算法是一种解决最短路径问题的有效算法，通过不断扩展已找到的最短路径来逐步确定最短路径的结果。在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的优化策略。